Kalkulus Contoh

$\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}} d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 5.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 5.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 5.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 5.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 5.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1 - 1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.5

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.6

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 (0)}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.6.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{0} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.7

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.8

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.10

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.11

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.13.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.13.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.14

Susun kembali $7$ dan $- 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} + 7 - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 6.15

Pindahkan $7$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} + 7 d x$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{4} (\int - 3 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Langkah 8

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (- 3 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Langkah 10

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 d x)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} (- \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$