Kalkulus Contoh

$x^{7} e^{x^{8}}$

Langkah 1

Tulis $x^{7} e^{x^{8}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{7} e^{x^{8}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x^{7} e^{x^{8}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ sebagai ${u_{1}}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.1.4.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.2

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ sebagai ${u_{1}}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $8$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.2.4.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${u_{1}}^{3}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Langkah 5.4

Gabungkan $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ dan $e^{{u_{1}}^{4}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Langkah 7

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Langkah 7.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ sebagai ${u_{2}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{2}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2}}{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 8.3

Gabungkan $\frac{u_{2}}{2}$ dan $e^{{u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2} e^{{u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 11

Biarkan $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Kemudian $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Langkah 11.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Langkah 12

Gabungkan $e^{u_{3}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Langkah 14.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{8} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Langkah 15

Integral dari $e^{u_{3}}$ terhadap $u_{3}$ adalah $e^{u_{3}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{3}} + C)$

Langkah 16

Sederhanakan.

$\frac{1}{8} e^{u_{3}} + C$

Langkah 17

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{u_{2}}^{2}} + C$

Langkah 17.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Langkah 17.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x^{7} e^{x^{8}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C$