Kalkulus Contoh

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1

Tulis ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 4

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\int \sqrt{{(9 - x^{2})}^{1}} d x$

Langkah 5

Biarkan $x = 3 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 3 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positif.

$\int \sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{(9 - (3^{2} \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \sqrt{{(9 - (9 \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\int \sqrt{{(9 - 9 \sin^{2} (t))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int \sqrt{{(9 (1) - 9 \sin^{2} (t))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{{(9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{(9 (1 - \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \sqrt{{(9 \cos^{2} (t))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.6

Sederhanakan.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.7

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 6.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 6.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 6.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 6.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 7

Karena $9$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 8

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 11

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 13

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 13.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 13.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 13.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 13.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 14

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 15

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 16

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 17

Sederhanakan.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 18

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 18.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 18.3

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Langkah 19.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Langkah 19.3

Gabungkan $\frac{9}{2}$ dan $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Langkah 19.4

Kalikan $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.1

Kalikan $\frac{9}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 19.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

Langkah 20

Susun kembali suku-suku.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

Langkah 21

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$