Kalkulus Contoh

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Langkah 1

Tulis ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ sebagai $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Langkah 4.2

Perluas $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Kalikan $\sin (x) \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 4.3.1.1.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 4.3.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 4.3.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan $\cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Langkah 4.3.1.2.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Langkah 4.3.1.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Langkah 4.3.1.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Langkah 4.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $\cos (x) \sin (x)$ dan $\cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Langkah 4.4

Pindahkan $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 4.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 4.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

Langkah 4.6.2

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

Langkah 4.6.3

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

Langkah 7

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 7.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 8

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Langkah 10

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$