Kalkulus Contoh

$x e^{\frac{x}{2}}$

Langkah 1

Tulis $x e^{\frac{x}{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x e^{\frac{x}{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Langkah 7

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2} d x$ sehingga $2 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 7.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

Langkah 8.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

Langkah 9

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

Langkah 10

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

Langkah 12

Tulis kembali $x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ sebagai $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$