Kalkulus Contoh

$x^{2} \sin (2 x)$

Langkah 1

Tulis $x^{2} \sin (2 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{2} \sin (2 x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x^{2} \sin (2 x) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \sin (2 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

Langkah 5.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

Langkah 6

Karena $- \frac{1}{2} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{2} \cdot 2$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 x) (x) d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 x) (x) d x)$

Langkah 7.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Langkah 7.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Langkah 7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Langkah 7.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Langkah 7.3.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - - \int \cos (2 x) (x) d x$

Langkah 7.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + 1 \int \cos (2 x) (x) d x$

Langkah 7.5

Kalikan $\int \cos (2 x) (x) d x$ dengan $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \int \cos (2 x) (x) d x$

Langkah 8

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (2 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Langkah 9.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)$

Langkah 11

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 11.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 12

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Langkah 14.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Langkah 15

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Langkah 16

Tulis kembali $- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$ sebagai $- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Langkah 17

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (2 x) + \frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$

Langkah 19

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x^{2} \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} \cos (2 x) + \frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$