Kalkulus Contoh

$\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 4

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

Langkah 5

Biarkan $x = 4 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 4 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.1.3

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $16$ dari $16$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.3

Faktorkan $16$ dari $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.4

Faktorkan $16$ dari $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.7

Naikkan $16$ menjadi pangkat $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.8

Kalikan eksponen dalam ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.8.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.8.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.9

Tulis kembali $4096 \cos^{6} (t)$ sebagai ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.1.10

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4 \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $4 \cos (t)$ dari $64 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{16}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{16}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Langkah 8

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ ke $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 9

Karena turunan dari $\tan (t)$ adalah $\sec^{2} (t)$ , maka integral dari $\sec^{2} (t)$ adalah $\tan (t)$ .

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Langkah 12

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$