Kalkulus Contoh

$x \sqrt{3 x - 6}$

Langkah 1

Tulis $x \sqrt{3 x - 6}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x \sqrt{3 x - 6} d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sqrt{3 x - 6}$ .

$x (\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{2}{9}$ dan ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 6

Karena $\frac{2}{9}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 7

Biarkan $u = 3 x - 6$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 3 x - 6$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $3 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 6]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 7.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 7.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 7.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 7.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 7.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

Langkah 8

Gabungkan $u^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 10.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis kembali $\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ sebagai $\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Gabungkan $\frac{2}{9}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 12.2.2

Gabungkan $\frac{2 x}{9}$ dan ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 12.2.3

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 12.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 12.2.5

Kalikan $5$ dengan $27$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 12.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{9}{9} + C$

Langkah 12.2.7

Gabungkan $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ dan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Langkah 12.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Langkah 12.2.9

Gabungkan $u^{\frac{5}{2}}$ dan $\frac{4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135} \cdot 9}{9} + C$

Langkah 12.2.10

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 9 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}}{9} + C$

Langkah 12.2.11

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{135}}{9} + C$

Langkah 12.2.12

Kalikan $4$ dengan $- 9$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36 u^{\frac{5}{2}}}{135}}{9} + C$

Langkah 12.2.13

Faktorkan $9$ dari $- 36 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{135}}{9} + C$

Langkah 12.2.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.14.1

Faktorkan $9$ dari $135$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 (15)}}{9} + C$

Langkah 12.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 \cdot 15}}{9} + C$

Langkah 12.2.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Langkah 12.2.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Langkah 12.2.16

Untuk menuliskan $2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Langkah 12.2.17

Gabungkan $2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{15}{15}$ .

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Langkah 12.2.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Langkah 12.2.19

Kalikan $15$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Langkah 12.2.20

Tulis kembali $\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9}$ sebagai hasil kali.

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot \frac{1}{9} + C$

Langkah 12.2.21

Kalikan $\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ dengan $\frac{1}{9}$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15 \cdot 9} + C$

Langkah 12.2.22

Kalikan $15$ dengan $9$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 6$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$