Kalkulus Contoh

$\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 4.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $\ln (x)$ .

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int x^{2} \ln (x) d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 8.2

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 8.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 8.4

Kalikan $\frac{x^{3}}{3}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 8.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 8.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1

Faktorkan $x$ dari $3 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 8.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 8.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Langkah 12

Karena $- \frac{3}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{3}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} \int x^{2} d x$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C$

Langkah 14.2.2

Kalikan $\frac{x^{3}}{3}$ dengan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \cdot 4} + C$

Langkah 14.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{12} + C$

Langkah 14.2.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 \cdot x^{3}}{12} + C$

Langkah 14.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.5.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 (x^{3})}{12} + C$

Langkah 14.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

Langkah 14.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

Langkah 14.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3}}{4} + C$

Langkah 14.2.6

Untuk menuliskan $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

Langkah 14.2.7

Gabungkan $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

Langkah 14.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4 - x^{3}}{4} + C$

Langkah 14.2.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{4}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Langkah 14.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.10.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Langkah 14.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Langkah 14.2.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Langkah 14.2.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{2}{1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Langkah 14.2.10.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$