Kalkulus Contoh

$\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Langkah 1

Tulis $\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{π}{4} x) d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{π}{4} d x$ sehingga $\frac{4}{π} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{4} x]$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{π}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{4} x$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{π}{4}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u_{1}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{π}{4}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \frac{4}{π}) d u_{1}$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{4}{π}$ dengan $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{4}{π} d u_{1}$

Langkah 5.3

Gabungkan $\sin^{2} (u_{1})$ dan $\frac{4}{π}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cdot 4}{π} d u_{1}$

Langkah 5.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Langkah 6

Karena $\frac{4}{π}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{4}{π}$ keluar dari integral.

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 7

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{4}{π} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{4}{π} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (π)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{2}{π} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 13

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 13.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 13.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 13.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 13.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 14

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 15

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Langkah 16

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Langkah 17

Sederhanakan.

$\frac{2}{π} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 18

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 18.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Langkah 18.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Gabungkan $\frac{π}{4}$ dan $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Langkah 19.1.2

Gabungkan $\frac{π}{4}$ dan $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{4})) + C$

Langkah 19.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 (2)})) + C$

Langkah 19.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 \cdot 2})) + C$

Langkah 19.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Langkah 19.1.4

Gabungkan $\sin (\frac{π x}{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Langkah 19.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{4} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Langkah 19.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 (2)} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Langkah 19.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 \cdot 2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Langkah 19.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Langkah 19.4

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Langkah 19.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Langkah 19.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Langkah 19.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Langkah 19.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Langkah 19.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} (- \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Langkah 19.6

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{π} + C$

Langkah 20

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$

Langkah 21

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$