Kalkulus Contoh

$y = x^{3}$ , $y = x$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{0} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x$

Langkah 2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{3 \cdot 2} - {(x)}^{2}$

Langkah 2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$V = x^{6} - {(x)}^{2}$

$V = x^{6} - x^{2}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{- 1}^{0} x^{6} d x + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π (\frac{1}{7} x^{7}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $x^{7}$ .

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x^{2} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}))$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}))$

Langkah 8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Evaluasi $\frac{x^{7}}{7}$ pada $0$ dan pada $- 1$ .

$V = π ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}))$

Langkah 8.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $0$ dan pada $- 1$ .

$V = π (\frac{0^{7}}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{0}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.2.1

Faktorkan $7$ dari $0$ .

$V = π (\frac{7 (0)}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.2.2.1

Faktorkan $7$ dari $7$ .

$V = π (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (0 - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $7$ .

$V = π (0 - \frac{- 1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (0 + \frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (0 + 1 (\frac{1}{7}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.6

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $1$ .

$V = π (0 + \frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{7}$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.9.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.9.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.9.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.3.10

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 - \frac{- 1}{3}))$

Langkah 8.2.3.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + \frac{1}{3}))$

Langkah 8.2.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + 1 (\frac{1}{3})))$

Langkah 8.2.3.13

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + \frac{1}{3}))$

Langkah 8.2.3.14

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{7} - \frac{1}{3})$

Langkah 8.2.3.15

Untuk menuliskan $\frac{1}{7}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Langkah 8.2.3.16

Untuk menuliskan $- \frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

Langkah 8.2.3.17

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $21$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.17.1

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{3}{7 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

Langkah 8.2.3.17.2

Kalikan $7$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

Langkah 8.2.3.17.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{7}{3 \cdot 7})$

Langkah 8.2.3.17.4

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{7}{21})$

Langkah 8.2.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{3 - 7}{21})$

Langkah 8.2.3.19

Kurangi $7$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{- 4}{21})$

Langkah 8.2.3.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (- \frac{4}{21})$

Langkah 8.2.3.21

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{21}$ .

$V = - \frac{π \cdot 4}{21}$

Langkah 8.2.3.22

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = - \frac{4 π}{21}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = - \frac{4 π}{21}$

Bentuk Desimal:

$V = - 0.59839860 \dots$

Langkah 10