Kalkulus Contoh

$y = 6 x + 7$ , $y = x^{2}$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{7} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = 6 x + 7$ dan $g (x) = x^{2}$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(6 x + 7)}^{2}$ sebagai $(6 x + 7) (6 x + 7)$ .

$V = (6 x + 7) (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.2

Perluas $(6 x + 7) (6 x + 7)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = 6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = 6 \cdot (6 x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$V = 6 \cdot (6 (x \cdot x)) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$V = 6 \cdot (6 x^{2}) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$V = 36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $7$ dengan $6$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $6$ dengan $7$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $7$ dengan $7$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $42 x$ dan $42 x$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{2 \cdot 2}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{4}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{- 1}^{7} 36 x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Langkah 4

Karena $36$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $36$ keluar dari integral.

$V = π (36 \int_{- 1}^{7} x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Langkah 7

Karena $84$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $84$ keluar dari integral.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 \int_{- 1}^{7} x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - \int_{- 1}^{7} x^{4} d x)$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{7}))$

Langkah 13

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Langkah 13.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $7$ dan pada $- 1$ .

$V = π (36 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Langkah 13.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $7$ dan pada $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Langkah 13.2.3

Evaluasi $49 x$ pada $7$ dan pada $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Langkah 13.2.4

Evaluasi $\frac{x^{5}}{5}$ pada $7$ dan pada $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{- 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.5

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (36 (\frac{343 + 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.7

Tambahkan $343$ dan $1$ .

$V = π (36 (\frac{344}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.8

Gabungkan $36$ dan $\frac{344}{3}$ .

$V = π (\frac{36 \cdot 344}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.9

Kalikan $36$ dengan $344$ .

$V = π (\frac{12384}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.10

Hapus faktor persekutuan dari $12384$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.10.1

Faktorkan $3$ dari $12384$ .

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 (1)} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 \cdot 1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{4128}{1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.10.2.4

Bagilah $4128$ dengan $1$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.11

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.12

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (4128 + 84 (\frac{49 - 1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.14

Kurangi $1$ dengan $49$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{48}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.15

Hapus faktor persekutuan dari $48$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.15.1

Faktorkan $2$ dari $48$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.15.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 (1)}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (4128 + 84 (\frac{24}{1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.15.2.4

Bagilah $24$ dengan $1$ .

$V = π (4128 + 84 \cdot 24 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.16

Kalikan $84$ dengan $24$ .

$V = π (4128 + 2016 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.17

Tambahkan $4128$ dan $2016$ .

$V = π (6144 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.18

Kalikan $49$ dengan $7$ .

$V = π (6144 + 343 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.19

Kalikan $- 49$ dengan $- 1$ .

$V = π (6144 + 343 + 49 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.20

Tambahkan $343$ dan $49$ .

$V = π (6144 + 392 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.21

Tambahkan $6144$ dan $392$ .

$V = π (6536 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.22

Naikkan $7$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Langkah 13.2.5.23

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{- 1}{5}))$

Langkah 13.2.5.24

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

Langkah 13.2.5.25

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

Langkah 13.2.5.26

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

Langkah 13.2.5.27

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (6536 - \frac{16807 + 1}{5})$

Langkah 13.2.5.28

Tambahkan $16807$ dan $1$ .

$V = π (6536 - \frac{16808}{5})$

Langkah 13.2.5.29

Untuk menuliskan $6536$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (6536 \cdot \frac{5}{5} - \frac{16808}{5})$

Langkah 13.2.5.30

Gabungkan $6536$ dan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6536 \cdot 5}{5} - \frac{16808}{5})$

Langkah 13.2.5.31

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{6536 \cdot 5 - 16808}{5})$

Langkah 13.2.5.32

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.32.1

Kalikan $6536$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{32680 - 16808}{5})$

Langkah 13.2.5.32.2

Kurangi $16808$ dengan $32680$ .

$V = π (\frac{15872}{5})$

Langkah 13.2.5.33

Gabungkan $π$ dan $\frac{15872}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 15872}{5}$

Langkah 13.2.5.34

Pindahkan $15872$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{15872 π}{5}$

Langkah 14

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{15872 π}{5}$

Bentuk Desimal:

$V = 9972.67171955 \dots$

Langkah 15