Kalkulus Contoh

$y = 4 - \frac{3}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = - \frac{3 x}{2} + 4$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(- \frac{3 x}{2} + 4)}^{2}$ sebagai $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ .

$V = (- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Langkah 2.2

Perluas $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 4) + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $- \frac{3 x}{2} (- \frac{3 x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = 1 (\frac{3 x}{2}) \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.2

Kalikan $\frac{3 x}{2}$ dengan $1$ .

$V = \frac{3 x}{2} \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.3

Kalikan $\frac{3 x}{2}$ dengan $\frac{3 x}{2}$ .

$V = \frac{3 x (3 x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$V = \frac{9 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = \frac{9 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.9

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3 x}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 3 x \cdot 2 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3 x}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (2) (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 x}{2})) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (- 3 x) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 16$

Langkah 2.3.2

Kurangi $6 x$ dengan $- 6 x$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 12 x + 16$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{9 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Langkah 4

Karena $\frac{9}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{9}{4}$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{9}{4}$ dan $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Langkah 7

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 12$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Langkah 11.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 x]_{0}^{1})$

Langkah 11.3

Evaluasi $16 x$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.5

Tambahkan $\frac{1}{3}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.6

Gabungkan $9$ dan $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{9}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.7

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.7.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{\frac{3}{1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.7.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.10.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} + 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.12

Tambahkan $\frac{1}{2}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.13

Gabungkan $- 12$ dan $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.14

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.14.1

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.14.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.14.2.4

Bagilah $- 6$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.15

Untuk menuliskan $- 6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.16

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{3 - 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.18

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.18.1

Kalikan $- 6$ dengan $4$ .

$V = π (\frac{3 - 24}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.18.2

Kurangi $24$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{- 21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.19

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.20

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 - 16 \cdot 0)$

Langkah 11.4.21

Kalikan $- 16$ dengan $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 + 0)$

Langkah 11.4.22

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16)$

Langkah 11.4.23

Untuk menuliskan $16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4})$

Langkah 11.4.24

Gabungkan $16$ dan $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4})$

Langkah 11.4.25

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{- 21 + 16 \cdot 4}{4})$

Langkah 11.4.26

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.26.1

Kalikan $16$ dengan $4$ .

$V = π (\frac{- 21 + 64}{4})$

Langkah 11.4.26.2

Tambahkan $- 21$ dan $64$ .

$V = π (\frac{43}{4})$

Langkah 11.4.27

Gabungkan $π$ dan $\frac{43}{4}$ .

$V = \frac{π \cdot 43}{4}$

Langkah 11.4.28

Pindahkan $43$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{43 π}{4}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{43 π}{4}$

Bentuk Desimal:

$V = 33.77212102 \dots$

Langkah 13