Kalkulus Contoh

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = x + 1$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(x + 1)}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x + 1)$ .

$V = (x + 1) (x + 1)$

Langkah 2.2

Perluas $(x + 1) (x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$V = x^{2} + 2 x + 1$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ dan $x]_{0}^{7}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Langkah 10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $7$ dan pada $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Langkah 10.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3} + x$ pada $7$ dan pada $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.5

Tambahkan $\frac{49}{2}$ dan $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.6

Gabungkan $2$ dan $\frac{49}{2}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.7

Kalikan $2$ dengan $49$ .

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $98$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.8.1

Faktorkan $2$ dari $98$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.8.2.4

Bagilah $49$ dengan $1$ .

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.9

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.10

Untuk menuliskan $7$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.11

Gabungkan $7$ dan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.13.1

Kalikan $7$ dengan $3$ .

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.13.2

Tambahkan $343$ dan $21$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.14

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.15

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.15.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

Langkah 10.2.3.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.15.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Langkah 10.2.3.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Langkah 10.2.3.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

Langkah 10.2.3.15.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

Langkah 10.2.3.16

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

Langkah 10.2.3.17

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

Langkah 10.2.3.18

Tambahkan $\frac{364}{3}$ dan $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

Langkah 10.2.3.19

Untuk menuliskan $49$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

Langkah 10.2.3.20

Gabungkan $49$ dan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

Langkah 10.2.3.21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

Langkah 10.2.3.22

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.22.1

Kalikan $49$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

Langkah 10.2.3.22.2

Tambahkan $147$ dan $364$ .

$V = π (\frac{511}{3})$

Langkah 10.2.3.23

Gabungkan $π$ dan $\frac{511}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

Langkah 10.2.3.24

Pindahkan $511$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{511 π}{3}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{511 π}{3}$

Bentuk Desimal:

$V = 535.11794866 \dots$

Langkah 12