Kalkulus Contoh

$y = 4 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = - \frac{x}{2} + 4$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(- \frac{x}{2} + 4)}^{2}$ sebagai $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ .

$V = (- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$

Langkah 2.2

Perluas $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 4) + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.2

Kalikan $\frac{x}{2}$ dengan $1$ .

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.3

Kalikan $\frac{x}{2}$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.1.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x \cdot 2 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (2) (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 \cdot (2 (\frac{- x}{2})) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (- x) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 16$

Langkah 2.3.2

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 4 x + 16$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Langkah 7

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

Langkah 11.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

Langkah 11.3

Evaluasi $16 x$ pada $2$ dan pada $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{\frac{8 - 1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.4

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$V = π (\frac{\frac{7}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.5

Tulis kembali $\frac{\frac{7}{3}}{4}$ sebagai hasil kali.

$V = π (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.6

Kalikan $\frac{7}{3}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{7}{3 \cdot 4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.7

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.9

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.9.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.9.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.11

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.12

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.14.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{4 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.14.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{3}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.15

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{3}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 4 \cdot 3}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.16

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.17

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.17.1

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.17.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.17.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.17.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.17.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.17.2.4

Bagilah $- 6$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 6 + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.18

Untuk menuliskan $- 6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 6 \cdot \frac{12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.19

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{7 - 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.21

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.21.1

Kalikan $- 6$ dengan $12$ .

$V = π (\frac{7 - 72}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.21.2

Kurangi $72$ dengan $7$ .

$V = π (\frac{- 65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.22

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.23

Kalikan $16$ dengan $2$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16 \cdot 1)$

Langkah 11.4.24

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16)$

Langkah 11.4.25

Kurangi $16$ dengan $32$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 16)$

Langkah 11.4.26

Untuk menuliskan $16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot \frac{12}{12})$

Langkah 11.4.27

Gabungkan $16$ dan $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + \frac{16 \cdot 12}{12})$

Langkah 11.4.28

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{- 65 + 16 \cdot 12}{12})$

Langkah 11.4.29

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.29.1

Kalikan $16$ dengan $12$ .

$V = π (\frac{- 65 + 192}{12})$

Langkah 11.4.29.2

Tambahkan $- 65$ dan $192$ .

$V = π (\frac{127}{12})$

Langkah 11.4.30

Gabungkan $π$ dan $\frac{127}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 127}{12}$

Langkah 11.4.31

Pindahkan $127$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{127 π}{12}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{127 π}{12}$

Bentuk Desimal:

$V = 33.24852225 \dots$

Langkah 13