Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{x - 1}$ , $y = 0$ , $x = 4$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = \sqrt{x - 1}$

Langkah 2

Tulis kembali ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ sebagai $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$V = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$V = x - 1$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

$V = x - 1$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 1 d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 1 d x)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 1 d x)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4} + - x]_{1}^{4})$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}$ dan $- x]_{1}^{4}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2} - x]_{1}^{4}$

Langkah 7.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2} - x$ pada $4$ dan pada $1$ .

$V = π ((\frac{4^{2}}{2} - 1 \cdot 4) - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$V = π (\frac{16}{2} - 1 \cdot 4 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2} - 1 \cdot 4 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - 1 \cdot 4 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 4 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{8}{1} - 1 \cdot 4 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2.2.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$V = π (8 - 1 \cdot 4 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$V = π (8 - 4 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2.4

Kurangi $4$ dengan $8$ .

$V = π (4 - (\frac{1^{2}}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (4 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.2.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$V = π (4 - (\frac{1}{2} - 1))$

Langkah 7.2.2.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (4 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Langkah 7.2.2.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (4 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Langkah 7.2.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (4 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Langkah 7.2.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$V = π (4 - \frac{1 - 2}{2})$

Langkah 7.2.2.10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$V = π (4 - \frac{- 1}{2})$

Langkah 7.2.2.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (4 + \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.2.12

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (4 + 1 (\frac{1}{2}))$

Langkah 7.2.2.13

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$V = π (4 + \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.2.14

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.2.15

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.2.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})$

Langkah 7.2.2.17

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.17.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{8 + 1}{2})$

Langkah 7.2.2.17.2

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$V = π (\frac{9}{2})$

Langkah 7.2.2.18

Gabungkan $π$ dan $\frac{9}{2}$ .

$V = \frac{π \cdot 9}{2}$

Langkah 7.2.2.19

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{9 π}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{9 π}{2}$

Bentuk Desimal:

$V = 14.13716694 \dots$

Langkah 9