Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{7} \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{7}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Gabungkan $x^{7}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Langkah 1.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{7}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{7}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Langkah 1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Langkah 1.1.3.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Langkah 1.1.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Langkah 1.1.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Langkah 1.1.3.2.2.5

Bagilah $x^{6}$ dengan $1$ .

$x^{6} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})$

Langkah 1.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$ .

$x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $x^{6}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$7 x^{6} \ln (x) = - x^{6}$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $7 x^{6} \ln (x) = - x^{6}$ dengan $7 x^{6}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $7 x^{6} \ln (x) = - x^{6}$ dengan $7 x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6} \ln (x)}{7 x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7 x^{6} \ln (x)}{7 x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Langkah 2.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{6} \ln (x)}{x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Langkah 2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{6} \ln (x)}{x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Langkah 2.3.2.2.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Langkah 2.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) = \frac{- 1}{7}$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (x) = - \frac{1}{7}$

Langkah 2.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{7}}$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\ln (x) = - \frac{1}{7}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{7}} = x$

Langkah 2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- \frac{1}{7}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{7}}$

Langkah 2.6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 4.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$

Langkah 6

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.43343895$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.43343895) = {(0.43343895)}^{6} + 7 {(0.43343895)}^{6} \ln (0.43343895)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.43343895$ menjadi pangkat $6$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + 7 {(0.43343895)}^{6} \ln (0.43343895)$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $0.43343895$ menjadi pangkat $6$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + 7 \cdot (0.00663082 \ln (0.43343895))$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $7$ dengan $0.00663082$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + 0.04641578 \ln (0.43343895)$

Langkah 7.2.1.4

Sederhanakan $0.04641578 \ln (0.43343895)$ dengan memindahkan $0.04641578$ ke dalam logaritma.

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + \ln ({0.43343895}^{0.04641578})$

Langkah 7.2.1.5

Naikkan $0.43343895$ menjadi pangkat $0.04641578$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + \ln (0.96193943)$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0.00663082$ dan $\ln (0.96193943)$ .

$f' (0.43343895) = - 0.03217296$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.03217296$ .

$- 0.03217296$

Langkah 7.3

Pada $x = 0.43343895$ , turunannya adalah $- 0.03217296$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$ .

Menurun pada $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.8668779$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.8668779) = {(1.8668779)}^{6} + 7 {(1.8668779)}^{6} \ln (1.8668779)$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Naikkan $1.8668779$ menjadi pangkat $6$ .

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + 7 {(1.8668779)}^{6} \ln (1.8668779)$

Langkah 9.2.1.2

Naikkan $1.8668779$ menjadi pangkat $6$ .

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + 7 \cdot (42.33460261 \ln (1.8668779))$

Langkah 9.2.1.3

Kalikan $7$ dengan $42.33460261$ .

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + 296.34221828 \ln (1.8668779)$

Langkah 9.2.1.4

Sederhanakan $296.34221828 \ln (1.8668779)$ dengan memindahkan $296.34221828$ ke dalam logaritma.

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + \ln ({1.8668779}^{296.34221828})$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $42.33460261$ dan $\ln ({1.8668779}^{296.34221828})$ .

$f' (1.8668779) = 227.33140751$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $227.33140751$ .

$227.33140751$

Langkah 9.3

Pada $x = 1.8668779$ , turunannya adalah $227.33140751$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$

Menurun pada: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$

Langkah 11