Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{2} - 6 \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 6 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$6 x - 6 \frac{1}{x}$

Langkah 1.1.3.3

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{x}$ .

$6 x + \frac{- 6}{x}$

Langkah 1.1.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = 6 x - \frac{6}{x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x - \frac{6}{x}$ .

$6 x - \frac{6}{x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x - \frac{6}{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$6 x - \frac{6}{x} = 0$

Langkah 2.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x, 1$

Langkah 2.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 2.3

Kalikan setiap suku pada $6 x - \frac{6}{x} = 0$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan setiap suku dalam $6 x - \frac{6}{x} = 0$ dengan $x$ .

$6 x \cdot x - \frac{6}{x} x = 0 x$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$6 (x \cdot x) - \frac{6}{x} x = 0 x$

Langkah 2.3.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$6 x^{2} - \frac{6}{x} x = 0 x$

Langkah 2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{6}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$6 x^{2} + \frac{- 6}{x} x = 0 x$

Langkah 2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 x^{2} + \frac{- 6}{x} x = 0 x$

Langkah 2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 x^{2} - 6 = 0 x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$6 x^{2} - 6 = 0$

Langkah 2.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$6 x^{2} = 6$

Langkah 2.4.2

Bagi setiap suku pada $6 x^{2} = 6$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Bagilah setiap suku di $6 x^{2} = 6$ dengan $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{6}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Bagilah $6$ dengan $6$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 2.4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 2.4.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 2.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 2.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 2.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $1, - 1$ .

$1, - 1$

Langkah 4

Atur penyebut dalam $\frac{6}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2}) - \frac{6}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{2}) - \frac{6}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - \frac{6}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - \frac{6}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 \cdot - 1 - \frac{6}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3 - \frac{6}{- \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3 - (6 (- 1 \cdot 2))$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- (6 (- 1 \cdot 2))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3 - (6 \cdot - 2)$

Langkah 7.2.1.4.2

Kalikan $6$ dengan $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3 + 12$

Langkah 7.2.1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3 + 12$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 9$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $9$ .

$9$

Langkah 8

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, 1)$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(0, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2}) - \frac{6}{\frac{1}{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{2}) - \frac{6}{\frac{1}{2}}$

Langkah 9.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - \frac{6}{\frac{1}{2}}$

Langkah 9.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = 3 - \frac{6}{\frac{1}{2}}$

Langkah 9.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 3 - (6 \cdot 2)$

Langkah 9.2.1.3

Kalikan $- (6 \cdot 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.3.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 3 - 1 \cdot 12$

Langkah 9.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 3 - 12$

Langkah 9.2.2

Kurangi $12$ dengan $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 9$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 9$ .

$- 9$

Langkah 9.3

Pada $x = \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- 9$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 1)$ .

Menurun pada $(0, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 10

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, 1), (1, \infty)$

Langkah 11

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 6 (2) - \frac{6}{2}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$f' (2) = 12 - \frac{6}{2}$

Langkah 11.2.1.2

Bagilah $6$ dengan $2$ .

$f' (2) = 12 - 1 \cdot 3$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (2) = 12 - 3$

Langkah 11.2.2

Kurangi $3$ dengan $12$ .

$f' (2) = 9$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $9$ .

$9$

Langkah 11.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $9$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 12

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(1, \infty)$

Menurun pada: $(0, 1)$

Langkah 13