Kalkulus Contoh

$f (x) = (6 - x) e^{- x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 6 - x$ dan $g (x) = e^{- x}$ .

$(6 - x) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$(6 - x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$(6 - x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$(6 - x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 - x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(6 - x) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(6 - x) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Langkah 1.1.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $(6 - x) e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ((6 - x) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Langkah 1.1.3.3.3

Tulis kembali $- 1 (6 - x)$ sebagai $- (6 - x)$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Langkah 1.1.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.1.3.5

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.1.3.6

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 1.1.3.9.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$- (6 - x) e^{- x} - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 1.1.3.9.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$- (6 - x) e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$(- 1 \cdot 6 - - x) e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 1.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$- 1 \cdot 6 e^{- x} - - x e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 1.1.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$- 6 e^{- x} - - x e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 1.1.4.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 6 e^{- x} + 1 x e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 1.1.4.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$- 6 e^{- x} + x e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 1.1.4.3.4

Kurangi $e^{- x}$ dengan $- 6 e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Langkah 1.1.4.4

Susun kembali suku-suku.

$e^{- x} x - 7 e^{- x}$

Langkah 1.1.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} x - 7 e^{- x}$ .

$f' (x) = x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x e^{- x} - 7 e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x e^{- x} - 7 e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $x e^{- x} - 7 e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $x e^{- x}$ .

$e^{- x} x - 7 e^{- x} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- 7 e^{- x}$ .

$e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 7 = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 7$ .

$e^{- x} (x - 7) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x - 7 = 0$

Langkah 2.4

Atur $e^{- x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $e^{- x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $e^{- x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Langkah 2.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.5

Atur $x - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x - 7$ sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 7$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{- x} (x - 7) = 0$ benar.

$x = 7$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $7$ .

$7$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = x e^{- x} - 7 e^{- x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = (6 - x) e^{- x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 7)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6) = (6) \cdot e^{- (6)} - 7 e^{- (6)}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f' (6) = 6 \cdot e^{- 6} - 7 e^{- (6)}$

Langkah 5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = 6 \cdot \frac{1}{e^{6}} - 7 e^{- (6)}$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 e^{- (6)}$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 e^{- 6}$

Langkah 5.2.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 \frac{1}{e^{6}}$

Langkah 5.2.1.6

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} + \frac{- 7}{e^{6}}$

Langkah 5.2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - \frac{7}{e^{6}}$

Langkah 5.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (6) = \frac{6 - 7}{e^{6}}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Kurangi $7$ dengan $6$ .

$f' (6) = \frac{- 1}{e^{6}}$

Langkah 5.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (6) = - \frac{1}{e^{6}}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{e^{6}}$ .

$- \frac{1}{e^{6}}$

Langkah 5.3

Pada $x = 6$ , turunannya adalah $- \frac{1}{e^{6}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 7)$ .

Menurun pada $(- \infty, 7)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(7, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f' (8) = (8) \cdot e^{- (8)} - 7 e^{- (8)}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$f' (8) = 8 \cdot e^{- 8} - 7 e^{- (8)}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (8) = 8 \cdot \frac{1}{e^{8}} - 7 e^{- (8)}$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 e^{- (8)}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 e^{- 8}$

Langkah 6.2.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 \frac{1}{e^{8}}$

Langkah 6.2.1.6

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} + \frac{- 7}{e^{8}}$

Langkah 6.2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - \frac{7}{e^{8}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (8) = \frac{8 - 7}{e^{8}}$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $7$ dengan $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{e^{8}}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Langkah 6.3

Pada $x = 8$ , turunannya adalah $\frac{1}{e^{8}}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(7, \infty)$ .

Meningkat pada $(7, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(7, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 7)$

Langkah 8