Kalkulus Contoh

$f (x) = 32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

$\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Langkah 1.1.1.2

Karena $32$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $32$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ terhadap $x$ adalah $36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 191$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 191]}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 191]}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 191$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [191]$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [191])}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [191])}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Karena $191$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $191$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 191$ .

$0 + 36 \frac{2 \cdot (x^{2} + 191) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.9

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.10

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.12

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.13

Gabungkan $36$ dan $\frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$0 + \frac{36 (2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$0 + \frac{36 ((2 x^{2} + 2 \cdot 191) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$0 + \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot 191 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$0 + \frac{36 (2 x^{2} x) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$0 + \frac{36 (2 (x^{1} x^{2})) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$0 + \frac{36 (2 x^{1 + 2}) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$0 + \frac{36 (2 x^{3}) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.4

Kalikan $2$ dengan $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.5

Kalikan $2$ dengan $191$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 36 (382 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.6

Kalikan $382$ dengan $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 13752 x + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.7

Kalikan $- 2$ dengan $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 13752 x - 72 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.8

Kurangi $72 x^{3}$ dengan $72 x^{3}$ .

$0 + \frac{13752 x + 0}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.9

Tambahkan $13752 x$ dan $0$ .

$0 + \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$13752 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $13752 x = 0$ dengan $13752$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $13752 x = 0$ dengan $13752$ .

$\frac{13752 x}{13752} = \frac{0}{13752}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $13752$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{13752 x}{13752} = \frac{0}{13752}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{13752}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $13752$ .

$x = 0$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = 32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{13752 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $13752$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{{({(- 1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{{(1 + 191)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $191$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{192^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Naikkan $192$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{36864}$

Langkah 5.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 13752$ dan $36864$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Faktorkan $72$ dari $- 13752$ .

$f' (- 1) = \frac{72 (- 191)}{36864}$

Langkah 5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.2.1

Faktorkan $72$ dari $36864$ .

$f' (- 1) = \frac{72 \cdot - 191}{72 \cdot 512}$

Langkah 5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 1) = \frac{72 \cdot - 191}{72 \cdot 512}$

Langkah 5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 1) = \frac{- 191}{512}$

Langkah 5.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = - \frac{191}{512}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{191}{512}$ .

$- \frac{191}{512}$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- \frac{191}{512}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{13752 (1)}{{({(1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $13752$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{13752}{{(1^{2} + 191)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{13752}{{(1 + 191)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $191$ .

$f' (1) = \frac{13752}{192^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $192$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1) = \frac{13752}{36864}$

Langkah 6.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $13752$ dan $36864$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Faktorkan $72$ dari $13752$ .

$f' (1) = \frac{72 (191)}{36864}$

Langkah 6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Faktorkan $72$ dari $36864$ .

$f' (1) = \frac{72 \cdot 191}{72 \cdot 512}$

Langkah 6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (1) = \frac{72 \cdot 191}{72 \cdot 512}$

Langkah 6.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (1) = \frac{191}{512}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{191}{512}$ .

$\frac{191}{512}$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $\frac{191}{512}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 8