Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$

Langkah 1

Tulis kembali $x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$ sebagai $\frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Langkah 2.1.2.1.2

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Langkah 2.1.2.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{3}}$ mendekati $0$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Langkah 2.1.2.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Langkah 2.1.3.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{3}}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2 x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (\frac{1}{2 x^{3}})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.5

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} (- 3 x^{- 4})}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.8

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} x^{- 4}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.9

Gabungkan $\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ dan $x^{- 4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{- 4}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.10

Pindahkan $x^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 2.3.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 x^{- 4}}$

Langkah 2.3.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.13.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Langkah 2.3.13.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Langkah 2.3.13.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Langkah 2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} - \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} (- \frac{x^{4}}{3})$

Langkah 2.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \frac{x^{4}}{3}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{3}$

Langkah 2.5.3

Kalikan $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ dengan $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4} \cdot 3}$

Langkah 2.5.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{6 x^{4}}$

Langkah 2.6

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{6 x^{4}}$

Langkah 2.6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $6 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Langkah 2.6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Langkah 2.6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Langkah 2.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Langkah 2.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{2 x^{3}})$

Langkah 3.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{2} \cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})$

Langkah 3.3

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})$

Langkah 4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{3}}$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (0)$

Langkah 5.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 5.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$