Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Langkah 1.2.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Langkah 1.3.4

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Langkah 1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Langkah 1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π \cdot 1)}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π \cdot 1)}$

Langkah 1.3.6.1.2

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π)}$

Langkah 1.3.6.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Langkah 1.3.6.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Langkah 1.3.6.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.6.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\ln (x) - \sin (π x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Langkah 3.7

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (π x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}$

Langkah 3.8.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}$

Langkah 3.8.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}$

Langkah 3.8.3

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}$

Langkah 3.8.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \cdot 1))}$

Langkah 3.8.5

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) π)}$

Langkah 3.8.6

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \cos (π x) π}$

Langkah 3.9

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Langkah 5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to 1} π \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Langkah 7

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{- π lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Langkah 8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{- π \cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Langkah 9

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Langkah 10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

Langkah 11

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Langkah 12

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Langkah 12.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Langkah 13

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Langkah 13.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + 1}$

Langkah 13.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π) + 1}$

Langkah 13.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{1}{- π (- \cos (0)) + 1}$

Langkah 13.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{- π (- 1 \cdot 1) + 1}$

Langkah 13.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{- π \cdot - 1 + 1}$

Langkah 13.2.5

Kalikan $- π \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{1 π + 1}$

Langkah 13.2.5.2

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{1}{π + 1}$