Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 1.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\tan (x) - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.3

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 3.6

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 7

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (0)}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Susun kembali $- 1$ dan $\sec^{2} (0)$ .

$\frac{\sec^{2} (0) - 1}{\cos (0)}$

Langkah 11.2

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{\tan^{2} (0)}{\cos (0)}$

Langkah 11.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0^{2}}{\cos (0)}$

Langkah 11.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Langkah 11.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{1}$

Langkah 11.5

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0$