Kalkulus Contoh

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{3 t} + t^{2}}{2 e^{3 t} - t}$

Langkah 1

Bagi pembilang dan penyebut dengan suku berpertumbuhan tercepat dalam penyebut.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 2.2.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 2.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.1.3

Karena eksponen $3 t$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{3 t}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = 3 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.3.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 3.3.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 4

Pindahkan suku $\frac{2}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.1.3

Karena eksponen $3 t$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{3 t}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = 3 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.3.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 5.3.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 6

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{e^{3 t}}$ mendekati $0$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 2 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 8.2

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

Langkah 9

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

Langkah 9.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

Langkah 9.1.3

Karena eksponen $3 t$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{3 t}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 9.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 9.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

Langkah 9.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

Langkah 9.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = 3 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}$

Langkah 9.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

Langkah 9.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

Langkah 9.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}$

Langkah 9.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}$

Langkah 9.3.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}$

Langkah 9.3.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}$

Langkah 10

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}$

Langkah 11

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{e^{3 t}}$ mendekati $0$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kalikan $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Langkah 12.1.1.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{1 + \frac{2}{9} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Langkah 12.1.2

Kalikan $\frac{2}{9}$ dengan $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Langkah 12.1.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Langkah 12.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2 + 0 (\frac{1}{3})}$

Langkah 12.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Langkah 12.2.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{1}{2}$