Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4 \sin (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{4 \sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{4 \sin (π)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Langkah 1.2.3.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Langkah 1.2.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Langkah 1.2.3.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} x}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} x}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} x}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + lim_{x \to 1} x}$

Langkah 1.3.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Langkah 1.3.5.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Langkah 1.3.5.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 1.3.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Langkah 1.3.5.2

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.5.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sin (π x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.4

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.5

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.7

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) π}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.8

Susun kembali faktor-faktor dari $4 \cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Langkah 3.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (π x) + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.10

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.10.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.10.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.10.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.10.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.10.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + 1}$

Langkah 3.12

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Langkah 4

Pindahkan suku $4 π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$4 π lim_{x \to 1} \frac{\cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$4 π \frac{lim_{x \to 1} \cos (π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Langkah 6

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$4 π \frac{\cos (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Langkah 7

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- lim_{x \to 1} π \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 9

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π lim_{x \to 1} \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 10

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 11

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 12

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Langkah 13

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Langkah 13.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Langkah 14

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$4 π \frac{\cos (π)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Langkah 14.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$4 π \frac{- \cos (0)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Langkah 14.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$4 π \frac{- 1 \cdot 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Langkah 14.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Langkah 14.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π) + 1}$

Langkah 14.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (0) + 1}$

Langkah 14.2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \cdot 0 + 1}$

Langkah 14.2.4

Kalikan $- π \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$4 π \frac{- 1}{0 π + 1}$

Langkah 14.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$4 π \frac{- 1}{0 + 1}$

Langkah 14.2.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$4 π \frac{- 1}{1}$

Langkah 14.3

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$4 π \cdot - 1$

Langkah 14.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 π$