Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 2)}{x^{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Langkah 1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.7

Kalikan $\frac{1}{x + 2}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 2}}{2 x}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{1}{2 x}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1}{x + 2}$ dengan $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x + 2) (2 x)}$

Langkah 5.2

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x + 2) (x)}$

Langkah 6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{(x + 2) (x)}$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Langkah 7

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$0$