Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.1.4

Pindahkan suku $a$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\ln (1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $a$ dengan $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.2.3.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 1.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \frac{a}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.6

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{a}{x}$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.7

Gabungkan $a$ dan $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.8

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.10

Gabungkan $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ dan $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.11

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.2.2

Gabungkan $\frac{a}{x}$ dan $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.3.1

Faktorkan $x$ dari $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.2.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.2.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.2.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.2.3.2.5

Bagilah $a x$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.3

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + a x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.3.2

Faktorkan $x$ dari $a x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.12.3.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x a$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 3.13

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Langkah 3.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}$

Langkah 3.15

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} (- x^{2})$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{a}{x (x + a)}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Langkah 5.3

Gabungkan $\frac{a}{x (x + a)}$ dan $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $x$ dari $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Langkah 6.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}$

Langkah 6.2

Pindahkan suku $a$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}$

Langkah 7

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Langkah 8.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Langkah 8.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Langkah 8.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$

Langkah 8.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Langkah 8.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Langkah 8.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Langkah 8.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Langkah 8.7

Pindahkan suku $a$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 9

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$a \frac{1}{1 + a \cdot 0}$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kalikan $a$ dengan $0$ .

$a \frac{1}{1 + 0}$

Langkah 10.1.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$a \frac{1}{1}$

Langkah 10.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$a \cdot 1$

Langkah 10.3

Kalikan $a$ dengan $1$ .

$a$