Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 100 x^{2} + 81$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $100 x^{2} + 81$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Karena $100$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $100 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Karena $81$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $81$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Tambahkan $200 x$ dan $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.1.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.9.2.1.1

Kalikan $100$ dengan $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.2.2

Kurangi $100 x^{2}$ dengan $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.9.3.1

Tulis kembali $100 x^{2}$ sebagai ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.3.2

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Langkah 1.1.9.3.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 10 x$ dan $b = 9$ .

$f' (x) = \frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$10 x + 9 = 0$

$10 x - 9 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $10 x + 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $10 x + 9$ sama dengan $0$ .

$10 x + 9 = 0$

Langkah 2.3.2.2

Selesaikan $10 x + 9 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$10 x = - 9$

Langkah 2.3.2.2.2

Bagi setiap suku pada $10 x = - 9$ dengan $10$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $10 x = - 9$ dengan $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Langkah 2.3.2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Langkah 2.3.2.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 9}{10}$

Langkah 2.3.2.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{9}{10}$

Langkah 2.3.3

Atur $10 x - 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $10 x - 9$ sama dengan $0$ .

$10 x - 9 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Selesaikan $10 x - 9 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$10 x = 9$

Langkah 2.3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $10 x = 9$ dengan $10$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $10 x = 9$ dengan $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{9}{10}$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$ benar.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{100 x^{2} + 81}{x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - \frac{9}{10}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- \frac{9}{10}$ untuk $x$ .

$\frac{100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81}{- \frac{9}{10}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81) (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{10})}^{2}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$(100 (1 \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.2.3

Kalikan $\frac{9^{2}}{10^{2}}$ dengan $1$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.2.4

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.2.5

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(81 + 81) (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Tambahkan $81$ dan $81$ .

$162 (- \frac{10}{9})$

Langkah 4.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{10}{9}$ ke dalam pembilangnya.

$162 (\frac{- 10}{9})$

Langkah 4.1.2.3.2.2

Faktorkan $9$ dari $162$ .

$9 (18) \frac{- 10}{9}$

Langkah 4.1.2.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \cdot 18 \frac{- 10}{9}$

Langkah 4.1.2.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$18 \cdot - 10$

Langkah 4.1.2.3.3

Kalikan $18$ dengan $- 10$ .

$- 180$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = \frac{9}{10}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $\frac{9}{10}$ untuk $x$ .

$\frac{100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81}{\frac{9}{10}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$(100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81) \frac{10}{9}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{9}{10}$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Langkah 4.2.2.2.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Langkah 4.2.2.2.3

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Langkah 4.2.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Langkah 4.2.2.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(81 + 81) \frac{10}{9}$

Langkah 4.2.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Tambahkan $81$ dan $81$ .

$162 (\frac{10}{9})$

Langkah 4.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.2.1

Faktorkan $9$ dari $162$ .

$9 (18) \frac{10}{9}$

Langkah 4.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \cdot 18 \frac{10}{9}$

Langkah 4.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$18 \cdot 10$

Langkah 4.2.2.3.3

Kalikan $18$ dengan $10$ .

$180$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{100 {(0)}^{2} + 81}{0}$

Langkah 4.3.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- \frac{9}{10}, - 180), (\frac{9}{10}, 180)$

Langkah 5