Kalkulus Contoh

Karena ${\displaystyle 6}$ konstan terhadap ${\displaystyle x}$, turunan dari ${\displaystyle 6x^5}$ terhadap ${\displaystyle x}$ adalah ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ adalah ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ di mana ${\displaystyle n=5}$.

Kalikan ${\displaystyle 5}$ dengan ${\displaystyle 6}$.

Gunakan ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ untuk menuliskan kembali ${\displaystyle \sqrt{x}}$ sebagai ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Gunakan kaidah pangkat ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ untuk menggabungkan pangkat.

Untuk menuliskan ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Untuk menuliskan ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari ${\displaystyle 6}$, dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari ${\displaystyle 1}$ yang sesuai.

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

Tambahkan ${\displaystyle 3}$ dan ${\displaystyle 2}$.

Karena ${\displaystyle 4}$ konstan terhadap ${\displaystyle x}$, turunan dari ${\displaystyle 4x^{\frac{5}{6}}}$ terhadap ${\displaystyle x}$ adalah ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{5}{6}}\right]}$.

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ adalah ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ di mana ${\displaystyle n=\frac{5}{6}}$.

Untuk menuliskan ${\displaystyle -1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Gabungkan ${\displaystyle -1}$ dan ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

Sederhanakan pembilangnya.

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

Gabungkan ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ dan ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$.

Gabungkan ${\displaystyle 4}$ dan ${\displaystyle \frac{5x^{-\frac{1}{6}}}{6}}$.

Kalikan ${\displaystyle 5}$ dengan ${\displaystyle 4}$.

Pindahkan ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Faktorkan ${\displaystyle 2}$ dari ${\displaystyle 20}$.

Batalkan faktor persekutuan.

Karena ${\displaystyle -10}$ konstan terhadap ${\displaystyle x}$, turunan dari ${\displaystyle -10e^{\frac{x}{2}}}$ terhadap ${\displaystyle x}$ adalah ${\displaystyle -10\frac{d}{dx}\left[e^{\frac{x}{2}}\right]}$.

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ adalah ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ di mana ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ dan ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{x}{2}}$.

Karena ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ konstan terhadap ${\displaystyle x}$, turunan dari ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ terhadap ${\displaystyle x}$ adalah ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ adalah ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ di mana ${\displaystyle n=1}$.

Kalikan ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ dengan ${\displaystyle 1}$.

Gabungkan ${\displaystyle e^{\frac{x}{2}}}$ dan ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Gabungkan ${\displaystyle -10}$ dan ${\displaystyle \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$.

Hapus faktor persekutuan dari ${\displaystyle -10}$ dan ${\displaystyle 2}$.

Karena ${\displaystyle 30}$ konstan terhadap ${\displaystyle x}$, turunan dari ${\displaystyle 30x^4}$ terhadap ${\displaystyle x}$ adalah ${\displaystyle 30\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ adalah ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ di mana ${\displaystyle n=4}$.

Kalikan ${\displaystyle 4}$ dengan ${\displaystyle 30}$.

Karena ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ konstan terhadap ${\displaystyle x}$, turunan dari ${\displaystyle 3^x\ln \left(3\right)}$ terhadap ${\displaystyle x}$ adalah ${\displaystyle \ln \left(3\right)\frac{d}{dx}\left[3^x\right]}$.

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[a^x\right]}$ adalah ${\displaystyle a^x\ln \left(a\right)}$ di mana ${\displaystyle a}$=${\displaystyle 3}$.

Naikkan ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ menjadi pangkat ${\displaystyle 1}$.

Naikkan ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ menjadi pangkat ${\displaystyle 1}$.

Gunakan kaidah pangkat ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ untuk menggabungkan pangkat.

Tambahkan ${\displaystyle 1}$ dan ${\displaystyle 1}$.

Karena ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ konstan terhadap ${\displaystyle x}$, turunan dari ${\displaystyle \frac{10}{3x^{\frac{1}{6}}}}$ terhadap ${\displaystyle x}$ adalah ${\displaystyle \frac{10}{3}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}\right]}$.

Tulis kembali ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}}$ sebagai ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-1}}$.

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ adalah ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ di mana ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ dan ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{6}}}$.

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ adalah ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ di mana ${\displaystyle n=\frac{1}{6}}$.

Kalikan eksponen dalam ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-2}}$.