Kalkulus Contoh

$f (x) = (x^{2} + 3) (5 x^{2} - 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2} + 3$ dan $g (x) = 5 x^{2} - 3$ .

$(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3] + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{2} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 1.2.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(x^{2} + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$(x^{2} + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 1.2.5

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x^{2} + 3) (10 x + 0) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tambahkan $10 x$ dan $0$ .

$(x^{2} + 3) (10 x) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 1.2.6.2

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $x^{2} + 3$ .

$10 \cdot (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Langkah 1.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 1.2.9

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x + 0)$

Langkah 1.2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x)$

Langkah 1.2.10.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $5 x^{2} - 3$ .

$10 (x^{2} + 3) x + 2 \cdot (5 x^{2} - 3) x$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$(10 x^{2} + 10 \cdot 3) x + 2 (5 x^{2} - 3) x$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2} - 3) x$

Langkah 1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + (2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 3) x$

Langkah 1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Langkah 1.3.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$10 (x^{1} x^{2}) + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Langkah 1.3.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$10 x^{1 + 2} + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Langkah 1.3.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$10 x^{3} + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Langkah 1.3.5.4

Kalikan $10$ dengan $3$ .

$10 x^{3} + 30 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Langkah 1.3.5.5

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{2} x + 2 \cdot - 3 x$

Langkah 1.3.5.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 3 x$

Langkah 1.3.5.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 3 x$

Langkah 1.3.5.8

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{3} + 2 \cdot - 3 x$

Langkah 1.3.5.9

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{3} - 6 x$

Langkah 1.3.5.10

Tambahkan $10 x^{3}$ dan $10 x^{3}$ .

$20 x^{3} + 30 x - 6 x$

Langkah 1.3.5.11

Kurangi $6 x$ dengan $30 x$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 24 x$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $20 x^{3} + 24 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$60 x^{2} + 24 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 24$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $60 x^{2} + 24$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $60$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $60 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [24]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [24]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$120 x + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $120 x$ dan $0$ .

$f''' (x) = 120 x$

Langkah 4

Turunan ketiga dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $120 x$ .

$120 x$