Kalkulus Contoh

$f (x) = e^{4 x} \sin (3 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{4 x}$ dan $g (x) = \sin (3 x)$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $3 x$ .

$e^{4 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$e^{4 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x$ .

$e^{4 x} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$e^{4 x} (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Langkah 1.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (3 x)$ .

$e^{4 x} (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $4 x$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 1.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 x$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} \cdot 4)$

Langkah 1.5.3.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (4 \cdot e^{4 x})$

Langkah 1.5.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 3 e^{4 x} \cos (3 x) + 4 e^{4 x} \sin (3 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 e^{4 x} \cos (3 x) + 4 e^{4 x} \sin (3 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x} \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{4 x} \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x} \cos (3 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 e^{4 x} \cos (3 x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (3 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.2

$3 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $3 x$ .

$3 (e^{4 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.3.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $4 x$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 x$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.7

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.9

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) \cdot 3) + \cos (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.10

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.11

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.2.12

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 x}$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 e^{4 x} \sin (3 x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \sin (3 x)]$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \sin (3 x)]$

Langkah 2.3.2

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $3 x$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Langkah 2.3.3.2

Turunan dari $\sin (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $\cos (u_{3})$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $3 x$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Langkah 2.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Langkah 2.3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{4}$ sebagai $4 x$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Langkah 2.3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ adalah $a^{u_{4}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Langkah 2.3.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{4}$ dengan $4 x$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Langkah 2.3.7

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])))$

Langkah 2.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

Langkah 2.3.9

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

Langkah 2.3.10

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (3 x)$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

Langkah 2.3.11

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} \cdot 4))$

Langkah 2.3.12

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 x}$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x))) + 3 (\cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Langkah 2.4.2

Terapkan sifat distributif.

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x))) + 3 (\cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x))) + 4 (\sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Langkah 2.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$- 9 (e^{4 x} (\sin (3 x))) + 3 (\cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x))) + 4 (\sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Langkah 2.4.3.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 12 (\cos (3 x) (e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x))) + 4 (\sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Langkah 2.4.3.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 12 \cos (3 x) e^{4 x} + 12 (e^{4 x} (\cos (3 x))) + 4 (\sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Langkah 2.4.3.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 12 \cos (3 x) e^{4 x} + 12 e^{4 x} \cos (3 x) + 16 (\sin (3 x) (e^{4 x}))$

Langkah 2.4.3.5

Tambahkan $12 \cos (3 x) e^{4 x}$ dan $12 e^{4 x} \cos (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.5.1

Pindahkan $\cos (3 x)$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 12 e^{4 x} \cos (3 x) + 12 e^{4 x} \cos (3 x) + 16 \sin (3 x) e^{4 x}$

Langkah 2.4.3.5.2

Tambahkan $12 e^{4 x} \cos (3 x)$ dan $12 e^{4 x} \cos (3 x)$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x) + 16 \sin (3 x) e^{4 x}$

Langkah 2.4.3.6

Tambahkan $- 9 e^{4 x} \sin (3 x)$ dan $16 \sin (3 x) e^{4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.6.1

Pindahkan $\sin (3 x)$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 16 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x)$

Langkah 2.4.3.6.2

Tambahkan $- 9 e^{4 x} \sin (3 x)$ dan $16 e^{4 x} \sin (3 x)$ .

$f'' (x) = 7 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x)$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $7 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x)$ .

$7 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x)$