Kalkulus Contoh

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $7$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{7 \ln (t)}{t}$ terhadap $t$ adalah $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = \ln (t)$ dan $g (t) = t$ .

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Langkah 1.3

Turunan dari $\ln (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $t$ dan $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Langkah 1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

Langkah 1.4.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

Langkah 1.4.4.2

Gabungkan $7$ dan $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ .

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Langkah 1.5.2.2

Kalikan $7 (- \ln (t))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.2

Sederhanakan $- 7 \ln (t)$ dengan memindahkan $7$ ke dalam logaritma.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 - \ln (t^{7})$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.2.3

Karena $7$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $7$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- \ln (t^{7})$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \ln (t)$ dan $g (t) = t^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Gabungkan $t^{2}$ dan $\frac{1}{t^{7}}$ .

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $t^{2}$ dan $t^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Faktorkan $t^{2}$ dari $t^{7}$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.4.2

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.4.3

Gabungkan $\frac{- 7}{t^{5}}$ dan $t^{6}$ .

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.4.4

Hapus faktor persekutuan dari $t^{6}$ dan $t^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.4.1

Faktorkan $t^{5}$ dari $- 7 t^{6}$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.4.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.4.4.2.4

Bagilah $- 7 t$ dengan $1$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Langkah 2.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

Langkah 2.4.6

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.6.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Langkah 2.4.6.2

Faktorkan $t$ dari $- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.6.2.1

Faktorkan $t$ dari $- 7 t$ .

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Langkah 2.4.6.2.2

Faktorkan $t$ dari $- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Langkah 2.4.6.2.3

Faktorkan $t$ dari $t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Langkah 2.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $t$ dari $t^{4}$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Langkah 2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Langkah 2.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.1

Kalikan $- 2$ dengan $7$ .

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Langkah 2.6.2.1.2

Kalikan $- 2 (- \ln (t^{7}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

Langkah 2.6.2.1.2.2

Sederhanakan $2 \ln (t^{7})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

Langkah 2.6.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(t^{7})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

Langkah 2.6.2.1.3.2

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Langkah 2.6.2.2

Kurangi $14$ dengan $- 7$ .

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Langkah 2.6.3

Tulis kembali $- 21$ sebagai $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Langkah 2.6.4

Faktorkan $- 1$ dari $\ln (t^{14})$ .

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Langkah 2.6.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ .

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Langkah 2.6.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (t)$ terhadap $t$ adalah $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ .

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$