Kalkulus Contoh

$f (r) = r {(4 r + 9)}^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ adalah $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ di mana $f (r) = r$ dan $g (r) = {(4 r + 9)}^{3}$ .

$r \frac{d}{d r} [{(4 r + 9)}^{3}] + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ adalah $f' (g (r)) g' (r)$ di mana $f (r) = r^{3}$ dan $g (r) = 4 r + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 r + 9$ .

$r (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$r (3 u^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 r + 9$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 r + 9$ terhadap $r$ adalah $\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $4 r$ terhadap $r$ adalah $4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.3.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.3.5

Karena $9$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $9$ terhadap $r$ adalah $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + 0)) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \cdot 4) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.3.6.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Langkah 1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \cdot 1$

Langkah 1.3.8

Kalikan ${(4 r + 9)}^{3}$ dengan $1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan ${(4 r + 9)}^{2}$ dari $r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Faktorkan ${(4 r + 9)}^{2}$ dari $r (12 {(4 r + 9)}^{2})$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{3}$

Langkah 1.4.1.2

Faktorkan ${(4 r + 9)}^{2}$ dari ${(4 r + 9)}^{3}$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$

Langkah 1.4.1.3

Faktorkan ${(4 r + 9)}^{2}$ dari ${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12) + 4 r + 9)$

Langkah 1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $r$ .

${(4 r + 9)}^{2} (12 \cdot r + 4 r + 9)$

Langkah 1.4.2.2

Tambahkan $12 r$ dan $4 r$ .

$f' (r) = {(4 r + 9)}^{2} (16 r + 9)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(4 r + 9)}^{2}$ sebagai $(4 r + 9) (4 r + 9)$ .

$\frac{d}{d r} [(4 r + 9) (4 r + 9) (16 r + 9)]$

Langkah 2.2

Perluas $(4 r + 9) (4 r + 9)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r + 9) + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r \cdot r + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $r$ dengan $r$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 (r \cdot r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $r$ dengan $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 81) (16 r + 9)]$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $36 r$ dan $36 r$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 r + 9)]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ adalah $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ di mana $f (r) = 16 r^{2} + 72 r + 81$ dan $g (r) = 16 r + 9$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \frac{d}{d r} [16 r + 9] + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 r + 9$ terhadap $r$ adalah $\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Langkah 2.5.2

Karena $16$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $16 r$ terhadap $r$ adalah $16 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Langkah 2.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Langkah 2.5.4

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Langkah 2.5.5

Karena $9$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $9$ terhadap $r$ adalah $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + 0) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Langkah 2.5.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.6.1

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \cdot 16 + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Langkah 2.5.6.2

Pindahkan $16$ ke sebelah kiri $16 r^{2} + 72 r + 81$ .

$16 \cdot (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Langkah 2.5.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 r^{2} + 72 r + 81$ terhadap $r$ adalah $\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Langkah 2.5.8

Karena $16$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $16 r^{2}$ terhadap $r$ adalah $16 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Langkah 2.5.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 (2 r) + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Langkah 2.5.10

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Langkah 2.5.11

Karena $72$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $72 r$ terhadap $r$ adalah $72 \frac{d}{d r} [r]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [81])$

Langkah 2.5.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [81])$

Langkah 2.5.13

Kalikan $72$ dengan $1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + \frac{d}{d r} [81])$

Langkah 2.5.14

Karena $81$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $81$ terhadap $r$ adalah $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + 0)$

Langkah 2.5.15

Tambahkan $32 r + 72$ dan $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Langkah 2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Langkah 2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Langkah 2.6.4

Terapkan sifat distributif.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.5.1

Kalikan $16$ dengan $16$ .

$256 r^{2} + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.2

Kalikan $72$ dengan $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.3

Kalikan $16$ dengan $81$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.4

Kalikan $32$ dengan $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r \cdot r + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.5

Naikkan $r$ menjadi pangkat $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.6

Naikkan $r$ menjadi pangkat $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r^{1}) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{1 + 1} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.9

Kalikan $32$ dengan $9$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.10

Kalikan $72$ dengan $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 9 \cdot 72$

Langkah 2.6.5.11

Kalikan $9$ dengan $72$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 648$

Langkah 2.6.5.12

Tambahkan $288 r$ dan $1152 r$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 1440 r + 648$

Langkah 2.6.5.13

Tambahkan $256 r^{2}$ dan $512 r^{2}$ .

$768 r^{2} + 1152 r + 1296 + 1440 r + 648$

Langkah 2.6.5.14

Tambahkan $1152 r$ dan $1440 r$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1296 + 648$

Langkah 2.6.5.15

Tambahkan $1296$ dan $648$ .

$f'' (r) = 768 r^{2} + 2592 r + 1944$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (r)$ terhadap $r$ adalah $768 r^{2} + 2592 r + 1944$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1944$