Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x^{3} - 1)}^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x^{3} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3} - 1$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + 0)$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2})$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$

Langkah 1.2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 1)}^{2}] + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{3} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2})) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4.4.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$9 (x^{2} (6 (x^{3} - 1) x^{2}) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$9 (x^{2 + 2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.5.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} (2 x))$

Langkah 2.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + 2 \cdot {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$9 (x^{4} (6 x^{3} + 6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.2

Terapkan sifat distributif.

$9 (x^{4} (6 x^{3}) + x^{4} (6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.3

Terapkan sifat distributif.

$9 (x^{4} (6 x^{3})) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.4.1

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.4.1.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$9 (x^{3} x^{4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$9 (x^{3 + 4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.4.1.3

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$9 (x^{7} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.4.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x^{7}$ .

$9 (6 \cdot x^{7}) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.4.3

Kalikan $6$ dengan $9$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.4.4

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} \cdot - 6) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.4.5

Pindahkan $- 6$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$54 x^{7} + 9 (- 6 \cdot x^{4}) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.4.6

Kalikan $- 6$ dengan $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Langkah 2.8.4.7

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 {(x^{3} - 1)}^{2} x$

Langkah 2.8.5

Susun kembali suku-suku.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x {(x^{3} - 1)}^{2}$

Langkah 2.8.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.1

Tulis kembali ${(x^{3} - 1)}^{2}$ sebagai $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x ((x^{3} - 1) (x^{3} - 1))$

Langkah 2.8.6.2

Perluas $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} (x^{3} - 1) - 1 (x^{3} - 1))$

Langkah 2.8.6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 (x^{3} - 1))$

Langkah 2.8.6.2.3

Terapkan sifat distributif.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.8.6.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.3.1.1

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3 + 3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.8.6.3.1.1.2

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.8.6.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 1 \cdot x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.8.6.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x^{3}$ sebagai $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.8.6.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x^{3}$ sebagai $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Langkah 2.8.6.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} + 1)$

Langkah 2.8.6.3.2

Kurangi $x^{3}$ dengan $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 2 x^{3} + 1)$

Langkah 2.8.6.4

Terapkan sifat distributif.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x \cdot x^{6} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Langkah 2.8.6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.5.1

Kalikan $x$ dengan $x^{6}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.5.1.1

Pindahkan $x^{6}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Langkah 2.8.6.5.1.2

Kalikan $x^{6}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.5.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x^{1}) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Langkah 2.8.6.5.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{6 + 1} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Langkah 2.8.6.5.1.3

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Langkah 2.8.6.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x \cdot 1$

Langkah 2.8.6.5.3

Kalikan $18$ dengan $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x$

Langkah 2.8.6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.6.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.6.1.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x) + 18 x$

Langkah 2.8.6.6.1.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.6.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x^{1}) + 18 x$

Langkah 2.8.6.6.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{3 + 1} + 18 x$

Langkah 2.8.6.6.1.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{4} + 18 x$

Langkah 2.8.6.6.2

Kalikan $18$ dengan $- 2$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} - 36 x^{4} + 18 x$

Langkah 2.8.7

Tambahkan $54 x^{7}$ dan $18 x^{7}$ .

$72 x^{7} - 54 x^{4} - 36 x^{4} + 18 x$

Langkah 2.8.8

Kurangi $36 x^{4}$ dengan $- 54 x^{4}$ .

$f'' (x) = 72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$ .

$72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$