Kalkulus Contoh

$y = x^{\frac{5}{2}} e^{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Langkah 1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Langkah 1.7.2

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 1.8

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Langkah 1.9

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Langkah 1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Susun kembali suku-suku.

$e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Langkah 1.10.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $e^{x}$ .

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2.7.2

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2.8

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.2.9

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{5}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 2.3.2

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.3.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.3.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.3.8.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.3.9

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.3.10

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan $\frac{5}{2}$ dengan $\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5 (e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.4.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{4} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Langkah 2.4.2.4

Gabungkan $x^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{5}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} e^{x}$

Langkah 2.4.2.5

Gabungkan $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 e^{x}}{2}$

Langkah 2.4.2.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$

Langkah 2.4.2.7

Tambahkan $\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$ dan $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.7.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 2.4.2.7.2

Tambahkan $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ dan $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 2.4.2.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 2.4.2.9

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{10 (x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 2.4.2.10

Faktorkan $2$ dari $10 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 2.4.2.11

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.11.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 (1)} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 2.4.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 \cdot 1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 2.4.2.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 2.4.2.11.4

Bagilah $5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ dengan $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} e^{x} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 5 e^{x} x^{\frac{3}{2}} + e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$