Kalkulus Contoh

$y = 2 \sec (5 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sec (5 x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sec (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec (u) \tan (u)$ .

$2 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$2 (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 1$

Langkah 1.3.4

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$f' (x) = 10 \sec (5 x) \tan (5 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 \sec (5 x) \tan (5 x)$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sec (5 x)$ dan $g (x) = \tan (5 x)$ .

$10 (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec^{2} (u_{1})$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.4

Naikkan $\sec (5 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$10 (\sec^{2} (5 x) \sec^{1} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$10 ({\sec (5 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.6.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \cdot 1) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.6.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \cdot 5 + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.6.4.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\sec^{3} (5 x)$ .

$10 (5 \cdot \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Langkah 2.7.2

Turunan dari $\sec (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Langkah 2.7.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Langkah 2.8

Naikkan $\tan (5 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Langkah 2.9

Naikkan $\tan (5 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan^{1} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Langkah 2.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + {\tan (5 x)}^{1 + 1} (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Langkah 2.11

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Langkah 2.12

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 2.14

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) \cdot 5)$

Langkah 2.14.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + 5 \cdot (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)))$

Langkah 2.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1

Terapkan sifat distributif.

$10 (5 \sec^{3} (5 x)) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

Langkah 2.15.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.2.1

Kalikan $5$ dengan $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

Langkah 2.15.2.2

Kalikan $5$ dengan $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$

Langkah 2.15.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 50 \sec^{3} (5 x)$