Kalkulus Contoh

$f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = θ^{2}$ dan $g (θ) = \sec (2 θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sec (2 θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sec (2 θ)$ .

$2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = \sec (θ)$ dan $g (θ) = 2 θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sec (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 1.3

Naikkan $\sec (2 θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 1.4

Naikkan $\sec (2 θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 {\sec (2 θ)}^{1 + 1} (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 1.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 1.7

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 θ$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])$

Langkah 1.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Langkah 1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \cdot 1$

Langkah 1.10

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (θ) = 4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $4$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$ terhadap $θ$ adalah $4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ adalah $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ di mana $f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$ dan $g (θ) = \tan (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [\tan (2 θ)] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = \tan (θ)$ dan $g (θ) = 2 θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.4

Kalikan $\sec^{2} (2 θ)$ dengan $\sec^{2} (2 θ)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $\sec^{2} (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 ({\sec (2 θ)}^{2 + 2} \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 θ$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \cdot 1) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.5.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \cdot 2 + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.5.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sec^{4} (2 θ)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = θ^{2}$ dan $g (θ) = \sec (2 θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Langkah 2.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 u_{2} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Langkah 2.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Langkah 2.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\tan (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \cdot \tan (2 θ) \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)])$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = \sec (θ)$ dan $g (θ) = 2 θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Langkah 2.8.2

Turunan dari $\sec (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Langkah 2.8.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Langkah 2.9

Naikkan $\tan (2 θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Langkah 2.10

Naikkan $\tan (2 θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan^{1} (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Langkah 2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 {\tan (2 θ)}^{1 + 1} \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Langkah 2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Langkah 2.13

Naikkan $\sec (2 θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 2.14

Naikkan $\sec (2 θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 2.15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) {\sec (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 2.16

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Langkah 2.17

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 θ$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]))$

Langkah 2.18

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Langkah 2.19

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \cdot 1)$

Langkah 2.20

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Langkah 2.21

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.21.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ)) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Langkah 2.21.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.21.2.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Langkah 2.21.2.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 16 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ)$

Langkah 2.21.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (θ) = 16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (θ)$ terhadap $θ$ adalah $16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$ .

$16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$