Kalkulus Contoh

$y = 4 x \frac{1}{2} + 3 x \frac{5}{3} + x^{- 2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x (\frac{1}{2}) + 3 x (\frac{5}{3}) + x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x (\frac{1}{2})] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x (\frac{1}{2})] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x (\frac{1}{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{4}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 4}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot x}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x)}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x)}{2 (1)}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.4.2.4

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.2.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{5}{3}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x \frac{3 \cdot 5}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x \frac{15}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{15}{3}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 15}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.4

Pindahkan $15$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{15 \cdot x}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Faktorkan $3$ dari $15 x$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{3 (5 x)}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{3 (5 x)}{3 (1)}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{3 (5 x)}{3 \cdot 1}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{1}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.5.2.4

Bagilah $5 x$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.6

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.3.8

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$2 + 5 + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$2 + 5 - 2 x^{- 3}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $2$ dan $5$ .

$7 - 2 x^{- 3}$

Langkah 1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- 2 x^{- 3} + 7$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 7$

Langkah 1.5.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} + 7$

Langkah 1.5.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + 7$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{2}{x^{3}} + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$- 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$- 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.7

Kalikan $x^{- 6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$- 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.7.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$- 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 2.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 x^{- 4} + 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{6}{x^{4}} + 0$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $\frac{6}{x^{4}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$