Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{4} \cot (2 x - 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{4} \cdot \cot (2 x - 1)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cot (2 x - 1)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cot (2 x - 1)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cot (x)$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cot (u)$ terhadap $u$ adalah $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (- \csc^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\csc^{2} (2 x - 1)$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 + 0)$

Langkah 1.3.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} \cdot 2$

Langkah 1.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4}$

Langkah 1.3.7.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (2 x - 1)}{4}$

Langkah 1.3.7.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \csc^{2} (2 x - 1)$ .

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x - 1))}{4}$

Langkah 1.3.7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x - 1))}{2 (2)}$

Langkah 1.3.7.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x - 1))}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.3.7.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \csc^{2} (2 x - 1)}{2}$

Langkah 1.3.7.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (2 x - 1)]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (2 x - 1)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \csc (2 x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\csc (2 x - 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\csc (2 x - 1)$ .

$- \frac{1}{2} (2 \csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Langkah 2.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) (\csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} (\csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $\csc (2 x - 1)$ dan $\frac{- 2}{2}$ .

$\frac{\csc (2 x - 1) \cdot - 2}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Langkah 2.3.4

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $\csc (2 x - 1)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (2 x - 1)}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Langkah 2.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \csc (2 x - 1)$ .

$\frac{2 (- \csc (2 x - 1))}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Langkah 2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- \csc (2 x - 1))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Langkah 2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- \csc (2 x - 1))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Langkah 2.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \csc (2 x - 1)}{1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Langkah 2.3.5.2.4

Bagilah $- \csc (2 x - 1)$ dengan $1$ .

$- \csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \csc (x)$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x - 1$ .

$- \csc (2 x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.4.2

Turunan dari $\csc (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \csc (2 x - 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x - 1$ .

$- \csc (2 x - 1) (- \csc (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.5

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \csc (2 x - 1) (\csc (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.5.2

Kalikan $\csc (2 x - 1)$ dengan $1$ .

$\csc (2 x - 1) (\csc (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.6

Naikkan $\csc (2 x - 1)$ menjadi pangkat $1$ .

$\csc^{1} (2 x - 1) \csc (2 x - 1) (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.7

Naikkan $\csc (2 x - 1)$ menjadi pangkat $1$ .

$\csc^{1} (2 x - 1) \csc^{1} (2 x - 1) (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${\csc (2 x - 1)}^{1 + 1} (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Langkah 2.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.13

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.14

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 + 0)$

Langkah 2.15

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \cdot 2$

Langkah 2.15.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1)$