Kalkulus Contoh

$y = {(7 + \frac{4}{x})}^{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = 7 + \frac{4}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $7 + \frac{4}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $7 + \frac{4}{x}$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 + \frac{4}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Langkah 1.2.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Langkah 1.2.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{x}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.2.5.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

Langkah 1.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} x^{- 2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $- 16$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} {(7 + \frac{4}{x})}^{3}$

Langkah 1.3.2.2

Gabungkan $\frac{- 16}{x^{2}}$ dan ${(7 + \frac{4}{x})}^{3}$ .

$\frac{- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Untuk menuliskan $7$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{16 {(\frac{7 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Langkah 1.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{16 {(\frac{7 x + 4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Langkah 1.3.3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{7 x + 4}{x}$ .

$- \frac{16 \frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Langkah 1.3.4

Gabungkan $16$ dan $\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Langkah 1.3.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 1.3.6

Gabungkan.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

Langkah 1.3.7

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

Langkah 1.3.7.2

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

Langkah 1.3.8

Kalikan $16 {(7 x + 4)}^{3}$ dengan $1$ .

$f' (x) = - \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$ terhadap $x$ adalah $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = {(7 x + 4)}^{3}$ dan $g (x) = x^{5}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 7 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.5.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.5.4

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.5.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + 0)) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.5.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.6.1

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \cdot 7) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.5.6.2

Kalikan $7$ dengan $3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Langkah 2.5.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Langkah 2.5.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.8.1

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

Langkah 2.5.8.2

Gabungkan $- 16$ dan $\frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{- 16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Langkah 2.5.8.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Faktorkan $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ dari $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.1

Faktorkan $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ dari $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.1.2

Faktorkan $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ dari $16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.1.3

Faktorkan $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ dari $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21) - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.2

Pindahkan $21$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x) - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.4

Kalikan $7$ dengan $- 5$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.5

Kalikan $- 5$ dengan $4$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 20)}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.6

Kurangi $35 x$ dengan $21 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 14 x - 20)}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.7

Faktorkan $2$ dari $- 14 x - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 14 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) - 20)}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.7.2

Faktorkan $2$ dari $- 20$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) + 2 (- 10))}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.7.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- 7 x) + 2 (- 10)$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} \cdot 2 (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Langkah 2.6.2.8

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$- \frac{32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Langkah 2.6.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x^{10}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

Langkah 2.6.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.2.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{10}$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Langkah 2.6.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Langkah 2.6.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{6}}$

Langkah 2.6.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 7 x$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 10)}{x^{6}}$

Langkah 2.6.5

Tulis kembali $- 10$ sebagai $- 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 1 (10))}{x^{6}}$

Langkah 2.6.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (7 x) - 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x + 10))}{x^{6}}$

Langkah 2.6.7

Tulis kembali $- (7 x + 10)$ sebagai $- 1 (7 x + 10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 1 (7 x + 10))}{x^{6}}$

Langkah 2.6.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Langkah 2.6.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Langkah 2.6.10

Kalikan $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ dengan $1$ .

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Langkah 2.6.11

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (7 x + 10)}{x^{6}}$