Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 8]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = \ln (x)$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[1, 8]$ atau tidak, tentukan domain $f (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x > 0$

Langkah 2.1.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[1, 8]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(1, 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $(1, 8)$ atau tidak, tentukan domain $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 4.1.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $(1, 8)$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $(1, 8)$ karena turunannya kontinu di $(1, 8)$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[1, 8]$ dan terdiferensiasi pada $(1, 8)$ .

$f (x)$ kontinu di $[1, 8]$ dan terdiferensiasi di $(1, 8)$ .

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[1, 8]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \ln (1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (1) = 0$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 8

Evaluasi $f (b)$ dari interval $[1, 8]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f (8) = \ln (8)$

Langkah 8.2

Jawaban akhirnya adalah $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ untuk $x$ . $\frac{1}{x} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8) + 0}{(8) - (1)}$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $\ln (8)$ dan $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{(8) - (1)}$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{8 - 1}$

Langkah 9.1.4

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{7}$

Langkah 9.1.5

Tulis kembali $\frac{\ln (8)}{7}$ sebagai $\frac{1}{7} \ln (8)$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} \ln (8)$

Langkah 9.1.6

Sederhanakan $\frac{1}{7} \ln (8)$ dengan memindahkan $\frac{1}{7}$ ke dalam logaritma.

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Langkah 9.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, 1$

Langkah 9.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 9.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ dengan $x$ .

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Langkah 9.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Langkah 9.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (8^{\frac{1}{7}}) x$ .

$1 = x \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Langkah 9.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ .

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$

Langkah 9.4.2

Bagi setiap suku pada $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ dengan $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.2.1

Bagilah setiap suku di $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ dengan $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ .

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Langkah 9.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Langkah 9.4.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Langkah 10

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 8$ .

Terdapat garis tangen pada $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 8$

Langkah 11