Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2}}{d t^{2}} (t^{12} \ln (t))$

Langkah 1

Turunan ini tidak dapat diselesaikan menggunakan kaidah hasil kali. Mathway akan menggunakan metode lain.

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t^{12}$ dan $g (t) = \ln (t)$ .

$t^{12} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{t}$ .

$t^{12} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gabungkan $t^{12}$ dan $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{12}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Langkah 2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $t^{12}$ dan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Faktorkan $t$ dari $t^{12}$ .

$\frac{t \cdot t^{11}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Langkah 2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{t \cdot t^{11}}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Langkah 2.3.2.2.2

Faktorkan $t$ dari $t^{1}$ .

$\frac{t \cdot t^{11}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Langkah 2.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t \cdot t^{11}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Langkah 2.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{t^{11}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Langkah 2.3.2.2.5

Bagilah $t^{11}$ dengan $1$ .

$t^{11} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 12$ .

$t^{11} + \ln (t) (12 t^{11})$

Langkah 2.3.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (t) = t^{11} + 12 t^{11} \ln (t)$

Langkah 3

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{11} + 12 t^{11} \ln (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t^{11}] + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{11}] + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 11$ .

$11 t^{10} + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $12 t^{11} \ln (t)$ terhadap $t$ adalah $12 \frac{d}{d t} [t^{11} \ln (t)]$ .

$11 t^{10} + 12 \frac{d}{d t} [t^{11} \ln (t)]$

Langkah 3.2.2

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{11}])$

Langkah 3.2.3

Turunan dari $\ln (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{t}$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{11}])$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 11$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{1}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Langkah 3.2.5

Gabungkan $t^{11}$ dan $\frac{1}{t}$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t^{11}}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Langkah 3.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $t^{11}$ dan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Faktorkan $t$ dari $t^{11}$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Langkah 3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t^{1}} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Langkah 3.2.6.2.2

Faktorkan $t$ dari $t^{1}$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t \cdot 1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Langkah 3.2.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t \cdot 1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Langkah 3.2.6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t^{10}}{1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Langkah 3.2.6.2.5

Bagilah $t^{10}$ dengan $1$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{10} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$11 t^{10} + 12 t^{10} + 12 (\ln (t) (11 t^{10}))$

Langkah 3.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $11$ dengan $12$ .

$11 t^{10} + 12 t^{10} + 132 (\ln (t) (t^{10}))$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $11 t^{10}$ dan $12 t^{10}$ .

$23 t^{10} + 132 \ln (t) t^{10}$

Langkah 3.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (t) = 23 t^{10} + 132 t^{10} \ln (t)$