Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 12 x$ ; $[- 2, 2]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{4}{3} x^{3} - 12 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $\frac{4}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{3} x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2.4

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2.5

Gabungkan $\frac{12}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2.6.2.4

Bagilah $4 x^{2}$ dengan $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 x^{2} - 12 \cdot 1$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 12$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{2} - 12$ .

$4 x^{2} - 12$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{2} - 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $12$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{2} = 12$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $4 x^{2} = 12$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{2} = 12$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{12}{4}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{12}{4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{4}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah $12$ dengan $4$ .

$x^{2} = 3$

Langkah 1.2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{3}$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{3}$

Langkah 1.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{3}$

Langkah 1.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{4}{3} x^{3} - 12 x$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $\sqrt{3}$ untuk $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{27} - 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.3.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.3.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{4}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.5.1

Faktorkan $3$ dari $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \cdot \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}$

$4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.1.2.2

Kurangi $12 \sqrt{3}$ dengan $4 \sqrt{3}$ .

$- 8 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = - \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $- \sqrt{3}$ untuk $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.5

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.5.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.5.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{4}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.7.1

Faktorkan $3$ dari $- (3 \sqrt{3})$ .

$\frac{4}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \cdot (- (\sqrt{3})) - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \cdot \sqrt{3} - 12 (- \sqrt{3})$

Langkah 1.4.2.2.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$- 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.2.2.2

Tambahkan $- 4 \sqrt{3}$ dan $12 \sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3}$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}), (- \sqrt{3}, 8 \sqrt{3})$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot - 8 - 12 \cdot - 2$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan $\frac{4}{3} \cdot - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $- 8$ .

$\frac{4 \cdot - 8}{3} - 12 \cdot - 2$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 8$ .

$\frac{- 32}{3} - 12 \cdot - 2$

Langkah 2.1.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{32}{3} - 12 \cdot - 2$

Langkah 2.1.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $- 2$ .

$- \frac{32}{3} + 24$

Langkah 2.1.2.2

Untuk menuliskan $24$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + 24 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $24$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 32 + 24 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.1.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Kalikan $24$ dengan $3$ .

$\frac{- 32 + 72}{3}$

Langkah 2.1.2.5.2

Tambahkan $- 32$ dan $72$ .

$\frac{40}{3}$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot 8 - 12 \cdot 2$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan $\frac{4}{3} \cdot 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.2.1

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $8$ .

$\frac{4 \cdot 8}{3} - 12 \cdot 2$

Langkah 2.2.2.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$\frac{32}{3} - 12 \cdot 2$

Langkah 2.2.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$\frac{32}{3} - 24$

Langkah 2.2.2.2

Untuk menuliskan $- 24$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 24 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 2.2.2.3

Gabungkan $- 24$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{32 - 24 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.5.1

Kalikan $- 24$ dengan $3$ .

$\frac{32 - 72}{3}$

Langkah 2.2.2.5.2

Kurangi $72$ dengan $32$ .

$\frac{- 40}{3}$

Langkah 2.2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{40}{3}$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 2, \frac{40}{3}), (2, - \frac{40}{3})$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(- \sqrt{3}, 8 \sqrt{3})$

Minimum Mutlak: $(\sqrt{3}, - 8 \sqrt{3})$

Langkah 4