Kalkulus Contoh

$f (x) = x (12 - x)$ ; $(- \infty, \infty)$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 12 - x$ .

$x \frac{d}{d x} [12 - x] + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.2

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x] + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (- 1 \cdot 1) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x \cdot - 1 + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$- 1 \cdot x + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.6.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- x + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- x + (12 - x) \cdot 1$

Langkah 1.1.1.2.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.8.1

Kalikan $12 - x$ dengan $1$ .

$- x + 12 - x$

Langkah 1.1.1.2.8.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$f' (x) = - 2 x + 12$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x + 12$ .

$- 2 x + 12$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 x + 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 2 x + 12 = 0$

Langkah 1.2.2

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x = - 12$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $- 2 x = - 12$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x = - 12$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 12}{- 2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 12}{- 2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 2}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah $- 12$ dengan $- 2$ .

$x = 6$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $x (12 - x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $6$ untuk $x$ .

$(6) (12 - (6))$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$6 (12 - 6)$

Langkah 1.4.1.2.2

Kurangi $6$ dengan $12$ .

$6 \cdot 6$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$36$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(6, 36)$

Langkah 2

Gunakan uji turunan pertama untuk menentukan titik yang dapat menjadi maksimum atau minimum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Langkah 2.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \infty, 6)$ dalam turunan pertama $- 2 x + 12$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 12$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + 12$

Langkah 2.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $12$ .

$f' (0) = 12$

Langkah 2.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12$ .

$12$

Langkah 2.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $8$ , dari interval $(6, \infty)$ dalam turunan pertama $- 2 x + 12$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f' (8) = - 2 \cdot 8 + 12$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $8$ .

$f' (8) = - 16 + 12$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $- 16$ dan $12$ .

$f' (8) = - 4$

Langkah 2.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$- 4$

Langkah 2.4

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 6$ , maka $x = 6$ adalah maksimum lokal.

$x = 6$ adalah maksimum lokal

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(6, 36)$

Tidak ada minimum mutlak

Langkah 4