Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (x^{2} + 5 x + 9)$ , $[- 3, 1]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} + 5 x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Langkah 1.1.1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Langkah 1.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 5 x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.1.1.2.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.1.1.2.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 1.1.1.2.6

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + 0)$

Langkah 1.1.1.2.7

Tambahkan $2 x + 5$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$

Langkah 1.1.1.3.2

Kalikan $2 x + 5$ dengan $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x + 5 = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 5$

Langkah 1.2.3.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Langkah 1.2.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Langkah 1.2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{5}{2}$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\ln (x^{2} + 5 x + 9)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = - \frac{5}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $- \frac{5}{2}$ untuk $x$ .

$\ln ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Langkah 1.4.1.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\ln (1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Kalikan $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$\ln (\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\ln (\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Langkah 1.4.1.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Langkah 1.4.1.2.1.6

Kalikan $5 (- \frac{5}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)$

Langkah 1.4.1.2.1.6.2

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{5}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)$

Langkah 1.4.1.2.1.6.3

Kalikan $- 5$ dengan $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)$

Langkah 1.4.1.2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)$

Langkah 1.4.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $\frac{25}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $\frac{25}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)$

Langkah 1.4.1.2.2.3

Tulis $9$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})$

Langkah 1.4.1.2.2.4

Kalikan $\frac{9}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})$

Langkah 1.4.1.2.2.5

Kalikan $\frac{9}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Langkah 1.4.1.2.2.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Langkah 1.4.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})$

Langkah 1.4.1.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $- 25$ dengan $2$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 36}{4})$

Langkah 1.4.1.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.5.1

Kurangi $50$ dengan $25$ .

$\ln (\frac{- 25 + 36}{4})$

Langkah 1.4.1.2.5.2

Tambahkan $- 25$ dan $36$ .

$\ln (\frac{11}{4})$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- 3$ untuk $x$ .

$\ln ({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 9)$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$\ln (9 + 5 (- 3) + 9)$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $- 3$ .

$\ln (9 - 15 + 9)$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Kurangi $15$ dengan $9$ .

$\ln (- 6 + 9)$

Langkah 2.1.2.2.2

Tambahkan $- 6$ dan $9$ .

$\ln (3)$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\ln ({(1)}^{2} + 5 (1) + 9)$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\ln (1 + 5 (1) + 9)$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\ln (1 + 5 + 9)$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$\ln (6 + 9)$

Langkah 2.2.2.2.2

Tambahkan $6$ dan $9$ .

$\ln (15)$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 3, \ln (3)), (1, \ln (15))$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(1, \ln (15))$

Minimum Mutlak: $(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Langkah 4