Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos^{3} (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$2 (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.2.5

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x))$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos^{2} (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.5

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.6

Kalikan $\cos^{2} (x)$ dengan $\cos (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Kalikan $\cos^{2} (x)$ dengan $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.6.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.6.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.8

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2.11

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) - 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Langkah 2.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) + 12 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 6 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Langkah 4

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Langkah 4.2

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 4.3

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 6

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 6.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 6.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 7

Atur $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 \cos^{2} (x) = 1$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos^{2} (x)$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{- 2}$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2}$ sebagai $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.4.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Langkah 7.2.4.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 7.2.4.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 7.2.4.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 7.2.4.6

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Langkah 7.2.4.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.7.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 7.2.4.7.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 7.2.4.7.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 7.2.4.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 7.2.4.7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 7.2.4.7.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.7.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 7.2.4.7.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 7.2.4.7.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 7.2.4.7.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.7.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 7.2.4.7.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 7.2.4.7.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.2.4.8

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.2.6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.2.7

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.7.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.2.7.2

Kosinus balikan dari $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 7.2.8

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.8.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.2.8.2

Kosinus balikan dari $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 7.2.9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ benar.

$x = 0, π$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 \sin^{2} (0) \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Langkah 10.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Langkah 10.1.3

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Langkah 10.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Langkah 10.1.5

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Langkah 10.1.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \cos (0)$

Langkah 10.1.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \cos (0)$

Langkah 10.1.8

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$0 - 6 - 3 \cos (0)$

Langkah 10.1.9

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Langkah 10.1.10

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$0 - 6 - 3$

Langkah 10.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kurangi $6$ dengan $0$ .

$- 6 - 3$

Langkah 10.2.2

Kurangi $3$ dengan $- 6$ .

$- 9$

Langkah 11

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 2 \cos^{3} (0) + 3 \cos (0)$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cos (0)$

Langkah 12.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

Langkah 12.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cos (0)$

Langkah 12.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cdot 1$

Langkah 12.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (0) = 2 + 3$

Langkah 12.2.2

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$f (0) = 5$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$y = 5$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 \sin^{2} (π) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$12 \sin^{2} (0) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.4

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$0 (- \cos (0)) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.7

Kalikan $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.7.2

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.8

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$0 - 6 {(- \cos (0))}^{3} - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.9

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.11

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.12

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \cos (π)$

Langkah 14.1.13

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$0 + 6 - 3 (- \cos (0))$

Langkah 14.1.14

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 14.1.15

Kalikan $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.15.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

Langkah 14.1.15.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

Langkah 14.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Tambahkan $0$ dan $6$ .

$6 + 3$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $6$ dan $3$ .

$9$

Langkah 15

$x = π$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = 2 \cos^{3} (π) + 3 \cos (π)$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{3} + 3 \cos (π)$

Langkah 16.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Langkah 16.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Langkah 16.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

Langkah 16.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cos (π)$

Langkah 16.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

Langkah 16.2.1.7

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.2.1.8

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cdot - 1$

Langkah 16.2.1.8.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (π) = - 2 - 3$

Langkah 16.2.2

Kurangi $3$ dengan $- 2$ .

$f (π) = - 5$

Langkah 16.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 5$ .

$y = - 5$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

$(0, 5)$ adalah maksimum lokal

$(π, - 5)$ adalah minimum lokal

Langkah 18