Kalkulus Contoh

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$f' (t) = 4 \frac{d}{d t} (\frac{t}{3 t^{2} + 27})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t$ dan $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $3 t^{2} + 27$ dengan $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 t^{2} + 27$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.3.6

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.3.7

Karena $27$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $27$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.8.1

Tambahkan $6 t$ dan $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.3.8.2

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.4

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.5

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.8

Kurangi $6 t^{2}$ dengan $3 t^{2}$ .

$f' (t) = 4 (\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Langkah 1.1.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.2.2

Kalikan $4$ dengan $27$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.3.1

Faktorkan $12$ dari $- 12 t^{2} + 108$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.3.1.1

Faktorkan $12$ dari $- 12 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.3.1.2

Faktorkan $12$ dari $108$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.3.1.3

Faktorkan $12$ dari $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.3.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.3.3

Susun kembali $- t^{2}$ dan $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.3.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 3$ dan $b = t$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 t^{2} + 27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.4.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Langkah 1.1.10.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (t^{2} + 9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.4.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.5

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.5.1

Faktorkan $3$ dari $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Langkah 1.1.10.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Langkah 1.1.10.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $3 + t$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $3 + t$ sama dengan $0$ .

$3 + t = 0$

Langkah 2.3.2.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$t = - 3$

Langkah 2.3.3

Atur $3 - t$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $3 - t$ sama dengan $0$ .

$3 - t = 0$

Langkah 2.3.3.2

Selesaikan $3 - t = 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- t = - 3$

Langkah 2.3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- t = - 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- t = - 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.2

Bagilah $t$ dengan $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 2.3.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.3.1

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$t = 3$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ benar.

$t = - 3, 3$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ di setiap nilai $t$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $t = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- 3$ untuk $t$ .

$\frac{4 (- 3)}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3 {(- 3)}^{2} + 27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $4 (- 3)$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Langkah 4.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(- 3)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2}) + 27}$

Langkah 4.1.2.1.2.2

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Langkah 4.1.2.1.2.3

Faktorkan $3$ dari $3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Langkah 4.1.2.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Langkah 4.1.2.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Langkah 4.1.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 4}{9 + 9}$

Langkah 4.1.2.3.2

Tambahkan $9$ dan $9$ .

$\frac{- 4}{18}$

Langkah 4.1.2.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{18}$

Langkah 4.1.2.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $18$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Langkah 4.1.2.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Langkah 4.1.2.4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{9}$

Langkah 4.1.2.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{9}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $t = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $3$ untuk $t$ .

$\frac{4 (3)}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $3 {(3)}^{2} + 27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $4 (3)$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Langkah 4.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(3)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2}) + 27}$

Langkah 4.2.2.1.2.2

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Langkah 4.2.2.1.2.3

Faktorkan $3$ dari $3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Langkah 4.2.2.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Langkah 4.2.2.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{{(3)}^{2} + 9}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4}{9 + 9}$

Langkah 4.2.2.2.2

Tambahkan $9$ dan $9$ .

$\frac{4}{18}$

Langkah 4.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (2)}{18}$

Langkah 4.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Langkah 4.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Langkah 4.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{9}$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 3, - \frac{2}{9}), (3, \frac{2}{9})$

Langkah 5