Kalkulus Contoh

$2 \sec (θ) + \tan (θ)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 \sec (θ)$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sec (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Langkah 1.1.3

Turunan dari $\tan (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (θ)$ terhadap $θ$ adalah $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$

Langkah 2.2

Ganti $\sec^{2} (θ)$ dengan $1 + \tan^{2} (θ)$ berdasarkan identitas $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) = 0$

Langkah 2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \cdot 1 + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Langkah 2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Langkah 2.5

Kalikan $\tan (θ)$ dengan $\tan^{2} (θ)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Pindahkan $\tan^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Langkah 2.5.2

Kalikan $\tan^{2} (θ)$ dengan $\tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Naikkan $\tan (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Langkah 2.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) {\tan (θ)}^{2 + 1} = 0$

Langkah 2.5.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) = 0$

Langkah 2.6

Susun ulang polinomial tersebut.

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Langkah 2.7

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Sederhanakan $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1

Faktorkan $2 \sec (θ) \tan (θ)$ dari $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1.1

Faktorkan $2 \sec (θ) \tan (θ)$ dari $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Langkah 2.7.1.1.2

Faktorkan $2 \sec (θ) \tan (θ)$ dari $2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1) = 0$

Langkah 2.7.1.1.3

Faktorkan $2 \sec (θ) \tan (θ)$ dari $2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ) + 1) = 0$

Langkah 2.7.1.2

Terapkan identitas pythagoras.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \sec^{2} (θ) = 0$

Langkah 2.7.1.3

Kalikan $\sec (θ)$ dengan $\sec^{2} (θ)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.3.1

Pindahkan $\sec^{2} (θ)$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec (θ)) \tan (θ) = 0$

Langkah 2.7.1.3.2

Kalikan $\sec^{2} (θ)$ dengan $\sec (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.3.2.1

Naikkan $\sec (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ) = 0$

Langkah 2.7.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 {\sec (θ)}^{2 + 1} \tan (θ) = 0$

Langkah 2.7.1.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$

Langkah 2.8

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

$\tan (θ) = 0$

Langkah 2.9

Atur $\sec^{3} (θ)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Atur $\sec^{3} (θ)$ sama dengan $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

Langkah 2.9.2

Selesaikan $\sec^{3} (θ) = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0}$

Langkah 2.9.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 2.9.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$\sec (θ) = 0$

Langkah 2.9.2.3

Jangkauan dari sekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.10

Atur $\tan (θ)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Atur $\tan (θ)$ sama dengan $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Langkah 2.10.2

Selesaikan $\tan (θ) = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam tangen.

$θ = \arctan (0)$

Langkah 2.10.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$θ = 0$

Langkah 2.10.2.3

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$θ = π + 0$

Langkah 2.10.2.4

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$θ = π$

Langkah 2.10.2.5

Tentukan periode dari $\tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 2.10.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 2.10.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 2.10.2.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.10.2.6

Periode dari fungsi $\tan (θ)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$θ = π n, π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$ benar.

$θ = π n, π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.12

Gabungkan jawabannya.

$θ = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\sec (θ)$ agar sama dengan $\frac{π}{2} + π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 4

Evaluasi $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ di setiap nilai $θ$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $θ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $θ$ .

$2 \sec (0) + \tan (0)$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 + \tan (0)$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \tan (0)$

Langkah 4.1.2.1.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $θ = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $π$ untuk $θ$ .

$2 \sec (π) + \tan (π)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$2 (- \sec (0)) + \tan (π)$

Langkah 4.2.2.1.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \tan (π)$

Langkah 4.2.2.1.3

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \cdot - 1 + \tan (π)$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + \tan (π)$

Langkah 4.2.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran kedua.

$- 2 - \tan (0)$

Langkah 4.2.2.1.5

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$- 2 - 0$

Langkah 4.2.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 2 + 0$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$- 2$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5