Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 1}^{50} (2 i - 1) (2 i + 1)$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Perluas $(2 i - 1) (2 i + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 i (2 i + 1) - 1 (2 i + 1)$

Langkah 1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i + 1)$

Langkah 1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 i \cdot 1$ dan $- 1 (2 i)$ .

$2 i (2 i) + 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 1$

Langkah 1.2.2

Kurangi $2 i$ dengan $1 \cdot 2 i$ .

$2 i (2 i) + 0 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $2 i (2 i)$ dan $0$ .

$2 i (2 i) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \cdot 2 i \cdot i - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.2

Kalikan $i$ dengan $i$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Pindahkan $i$ .

$2 \cdot 2 (i \cdot i) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.2.2

Kalikan $i$ dengan $i$ .

$2 \cdot 2 i^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 i^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 i^{2} - 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1 = 4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + \sum_{i = 1}^{50} - 1$

Langkah 3

Evaluasi $4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tambahkan $50$ dan $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Langkah 3.3.1.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Kalikan $50$ dengan $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Langkah 3.3.1.3

Tambahkan $100$ dan $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $2550$ dengan $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Langkah 3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Langkah 3.3.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{257550}{3})$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Langkah 3.3.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Langkah 3.3.2.4.2

Bagilah $515100$ dengan $3$ .

$171700$

Langkah 4

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{50} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$(- 1) (50)$

Langkah 4.3

Kalikan $- 1$ dengan $50$ .

$- 50$

Langkah 5

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$171700 - 50$

Langkah 6

Kurangi $50$ dengan $171700$ .

$171650$