Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.2.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.2.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.2.6

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ dan $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 {(x + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 {(x + 1)}^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 {(x + 1)}^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 {(x + 1)}^{4}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2.7

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x + 1)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.2.8

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3} + \frac{d}{d x} (- 5)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3} + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $20 {(x + 1)}^{3}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.2.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ dan $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Langkah 5.2

Sederhanakan $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.2.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.2.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.2.5

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.4.2

Kalikan $6$ dengan $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.4.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Langkah 5.2.1.4.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

Langkah 5.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ dan $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

Langkah 5.3

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = - 2, 0$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - 2, 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$20 {((- 2) + 1)}^{3}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$20 {(- 1)}^{3}$

Langkah 9.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$20 \cdot - 1$

Langkah 9.3

Kalikan $20$ dengan $- 1$ .

$- 20$

Langkah 10

$x = - 2$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 2$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = {((- 2) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f (- 2) = {(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Langkah 11.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$f (- 2) = - 1 - 5 \cdot - 2 - 2$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = - 1 + 10 - 2$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $10$ .

$f (- 2) = 9 - 2$

Langkah 11.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $9$ .

$f (- 2) = 7$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $7$ .

$y = 7$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$20 {((0) + 1)}^{3}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$20 \cdot 1^{3}$

Langkah 13.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$20 \cdot 1$

Langkah 13.3

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$20$

Langkah 14

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {((0) + 1)}^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = 1^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Langkah 15.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (0) = 1 - 5 \cdot 0 - 2$

Langkah 15.2.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$f (0) = 1 + 0 - 2$

Langkah 15.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (0) = 1 - 2$

Langkah 15.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f (0) = - 1$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ .

$(- 2, 7)$ adalah maksimum lokal

$(0, - 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 17